Computeralgebra-Tagung in Kaiserslautern 2007
Die Fachgruppe Computeralgebra der GI, DMV und GAMM organisiert eine
Tagung zur Forschung auf dem Gebiet der Computeralgebra. Die Tagung
findet in der Zeit vom 29.-31. Mai 2007 an der Universität Kaiserslautern
statt. Anmeldung eines Vortrags bis 30. März 2007 und
Anmeldung ohne Vortrag bis 4. Mai 2007,
Anmeldeformular pdf,
html.
Anreise Gebäude 42:
Wegbeschreibung, Campusplan.
Anschrift:
Fachbereich Mathematik
TU Kaiserslautern
Erwin Schrödinger Strasse
67653 Kaiserslautern
Die Tagung wird am 29. Mai 2007 um die Mittagszeit eröffnet (Anreisetag)
und endet am 31. Mai 2007 um die Mittagszeit (Abreisetag).
Ziel ist es, ein Forum zu bieten, das es erstens auch jüngeren
Nachwuchswissenschaftlern ermöglicht, ihre Ergebnisse vorzustellen,
andererseits aber auch einige Hauptvortragende zu gewinnen, die
Übersichtsvorträge
über wichtige Gebiete der Computeralgebra und über
Computeralgebra-Software geben sollen.
Die Fachgruppe Computeralgebra vergibt an den besten Vortrag eines
Nachwuchswissenschaftlers einen mit 500 € dotierten
Nachwuchspreis. Den Nachwuchspreis erhielt Almar Kaid.
Organisation vor Ort: Prof. Gunter Malle.
Tagungsprogramm
Teilnehmerliste
Tagungsfoto
Überreichung des Nachwuchspreises
Hauptvorträge
Prof. Dr. Gebhard Böckle (Universität Duisburg-Essen):
Darmons Vermutungen zu Heegner Punkten
Sei F ein Zahlkörper und E eine elliptische Kurve über F. Eines der
nach wie
vor sehr schwierigen Probleme in der Zahlentheorie ist die Konstruktion aller
F-rationalen Punkte auf der elliptischen Kurve E. Der Satz von Mordell-Weil
besagt, dass die Menge E(F) dieser Punkte eine endlich erzeugte abelsche Gruppe
bildet. Jedoch ist der Beweis hiervon nicht effektiv und lediglich der
Torsionsanteil der Mordell-Weil Gruppe E(F) ist gut verstanden. Eine
Hoffnung ist, dass ein besseres Verständnis der Mordell-Weil Gruppe zu
einem Beweis der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer (BSD) führen
könnte. Diese bildet eine
Verallgemeinerung der wohlbekannten Klassenzahlformel für Zahlkörper.
Die BSD-Vermutung und genauere Kenntnisse der Mordell-Weil Gruppe könnten
auch zu Anwendungen in der Kryptographie und insbesondere auf Kryptosysteme,
die auf elliptischen Kurven basieren, führen.
Die einzig bekannte systematische Methode F-rationale Punkte auf elliptischen
Kurven zu finden ist die Methode der Heegnerpunkte. Sie ist in ihrer
ursprünglichen Form jedoch nur auf über Q definierte elliptische
Kurven anwendbar und liefert Punkte über Q und über gewissen
Strahlklassenkörpern imaginär quadratischer Körper. In Analogie
zu dieser Methode hat H. Darmon
in den vergangenen 10 Jahren eine Reihe von Algorithmen vorgeschlagen, welche
`Heegner-Punkte' auf elliptischen Kurven über anderen Zahlkörpern
ergeben sollten. In diesem Zusammenhang gibt es kaum Beweise aber viele
Konstruktionen. Alle bisher (von Darmons Schule) durchgeführten Rechnungen
stehen im Einklang mit den von Darmon gemachten Vermutungen. Im Vortrag
möchte ich nach einer kurzen Einführung einige der von Darmon
vorgeschlagenen Algorithmen vorstellen.
Prof. Dr. Gregor Kemper (TU München):
Neues aus der algorithmischen Invariantentheorie
Ziel des Vortrags ist es, einen Überblick über klassische Probleme und
neue Entwicklungen in der algorithmischen Invariantentheorie zu
geben. Es sei G eine algebraische Gruppe, die auf einer Varietät X
operiert. In der Invariantentheorie interessiert man sich für den
Invariantenring K[X]^G, bestehend aus allen regulären Funktionen auf
X, die auf den G-Bahnen konstant sind. Die hauptsächliche rechnerische
Herausforderung ist die Entwicklung von Methoden zur Berechnung eines
Erzeugendensystems von K[X]^G. Für wichtige Spezialfälle existieren
hierfür bereits Algorithmen. Abgesehen davon erweisen sich die
folgenden Varianten des Problems als besonders zugänglich: die
Berechnung von separierenden Invarianten, sowie die Berechnung des
Invariantenkörpers. Für das letztgenannte Problem existiert ein
Algorithmus, der ohne weitere Voraussetzungen an die Gruppe oder die
Operation gültig ist.
Fast alle der hier relevanten Algorithmen benutzen
Gröbnerbasen-Methoden und stellen somit massive Herausforderungen an
Computeralgebra-Systeme dar.
Prof. Dr. Wolfram Koepf (Universität Kassel):
Potenzreihen und Summation in der Computeralgebra
In diesem Übersichtsvortrag werden Algorithmen der
Computeralgebra für holonome Funktionen behandelt. Holonome Funktionen
erfüllen lineare Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten. Die
holonome Differentialgleichung bildet dann eine Normalform, welche die
Funktion (mit geeigneten Anfangsbedingungen) eindeutig charakterisiert.
In ähnlicher Weise werden holonome Folgen durch holonome
Rekursionsgleichungen charakterisiert. Eine Folge ist genau dann
holonom, wenn ihre erzeugende Funktion holonom ist. Summe und Produkt
holonomer Funktionen sind ebenfalls holonom.
Die Potenzreihenentwicklung einer holonomen Funktion kann algorithmisch
gefunden werden, indem die holonome Differentialgleichung der Funktion
in eine holonome Rekursionsgleichung der zugehörigen Koeffizientenfolge
konvertiert wird. Ist diese Rekursion erster Ordnung, liegt der
Spezialfall einer hypergeometrischen Funktion vor, für welche man dann
die Potenzreihe in geschlossener Form angeben kann. Algorithmen von
Zeilberger, Petkovsek und van Hoeij lösen spezielle Fragen in diesem
Kontext. Schließlich wird das Umkehrproblem der Summation in
geschlossener Form behandelt. Alle Algorithmen werden mit Maple vorgeführt.
Dr. Felix Noeske (RWTH Aachen):
Ein Streifzug durch die rechnergestützte Darstellungstheorie
Zentraler Gegenstand der Darstellungstheorie von Gruppen oder Algebren
ist die Frage, wie sich abstrakt gegebene algebraische Strukturen
konkret realisieren lassen. So lassen sich beispielsweise endliche
Gruppen durch Homomorphismen in volle lineare Gruppen auf Matrixgruppen
abbilden. Die in einem gewissen Sinne kleinsten Bausteine aller
Darstellungen sind die sogenannten einfachen Darstellungen. Ein
Grundproblem der Darstellungstheorie ist die Klassifikation der
einfachen Darstellungen der endlichen einfachen Gruppen.
In diesem Vortrag stellen wir neben einer Übersicht über den
derzeitigen Stand dieser Klassifikation einige der Methoden vor, mit
denen den Herausforderungen dieses Problems begegnet wird. Hier zeigt
sich, wie wertvoll der Einsatz der Computeralgebra ist: Erst die
algorithmische Umsetzung tiefliegender theoretischer Ergebnisse hat
zahlreiche, insbesondere jüngere, Resultate durch unterstützende
Computerrechnungen ermöglicht. Darüber hinaus wollen wir anhand
ausgewählter Beispiele zeigen, in welchen Anwendungen die Methoden und
Ergebnisse zur Lösung verwandter Probleme beigetragen haben.
Prof. Dr. Felix Ulmer (Universität Rennes):
Berechnung liouvillescher Lösungen linearer Differentialgleichungen
Die Differential-Galoistheorie ermöglicht es alle
geschlossenen Lösungsfunktionen, sogenannte Liouvillesche Lösungen,
einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung zu berechnen, oder
einen Beweis zu liefern, dass eine solche Lösung nicht existiert. Die
Liouvilleschen Funktionen sind diejenigen Funktionen, die sich mittels
einer endlichen Anzahl von Quadraturen und algebraischen
Erweiterungen schreiben lassen.
Im Vortrag wird die Differential-Galoistheorie kurz eingeführt, um den
obigen Algorithmus herzuleiten.
Hier sind die Links auf die vorhergegangenen Computeralgebra-Tagungen
2003 und
2005.
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