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Forschungsgebiete - Andreas Gathmann

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Andreas Gathmann - Forschungsgebiete

Komplexe algebraische Geometrie

Algebraische Geometrie ist ein Gebiet der Mathematik, in dem sogenannte Varietäten, d.h. Lösungsmengen polynomialer Gleichungssysteme, untersucht werden. Das Hauptziel der Theorie ist herauszufinden, wie man verschiedenste geometrische Eigenschaften dieser Varietäten algebraisch an den Gleichungen ablesen kann, die sie beschreiben. Die algebraische Geometrie ist ein sehr umfangreiches Gebiet der Mathematik, das Beziehungen zu vielen anderen Forschungsgebieten wie z.B. komplexer Analysis, Topologie, Differentialgeometrie, Singularitätentheorie, Computeralgebra, kommutativer Algebra und Zahlentheorie hat.

Weitere einführende Informationen zur komplexen algebraischen Geometrie (auf Englisch) stehen z.B. in Kapitel 0 meines Skripts zur algebraischen Geometrie.

Enumerative Geometrie und Gromov-Witten-Invarianten

Ziel der enumerativen Geometrie ist es, Kurven mit bestimmten Bedingungen in einer gegebenen Varietät $X$ zu zählen. Diese Bedingungen können sehr vielfältig sein: wir können z.B. verlangen, dass die Kurven ein bestimmtes Geschlecht oder einen bestimmten Grad haben, durch gegebene Untervarietäten von $X$ laufen oder tangential zu ihnen sind, oder bestimmte Singularitäten haben. Obwohl die enumerative Geometrie ein sehr klassisches Gebiet der Mathematik ist, hat sie in den letzten 20 Jahren neue Bedeutung erlangt und sehr große Fortschritte gemacht - hauptsächlich durch Ideen und Ergebnisse der theoretischen Physik sowie durch die neue Gromov-Witten-Theorie, die sehr allgemeine und moderne Grundlagen für die Behandlung enumerativer Probleme schafft.

Weitere einführende Informationen zur enumerativen Geometrie (auf Englisch) stehen z.B. in Kapitel 0 meines Skripts zur enumerativen Geometrie.

Tropische algebraische Geometrie

Die tropische algebraische Geometrie ist ein sehr neues und aktives Teilgebiet der Mathematik, in dem versucht wird, komplizierte algebraische oder geometrische Probleme (z.B. in enumerativer Geometrie) auf kombinatorische zurückzuführen. Idealerweise sollte jede Konstruktion in algebraischer Geometrie eine kombinatorische Entsprechung in der tropischen Geometrie besitzen. Wenn diese tropische Situation dann einfacher zu verstehen ist, kann man versuchen, die tropischen Resultate wieder in die algebraische Geometrie zurück zu übersetzen. Tropische Geometrie hat darüberhinaus auch viele Beziehungen zu anderen Forschungsgebieten wie z.B. algebraischer Statistik und sogar Bioinformatik.

Weitere einführende Informationen zur tropischen Geometrie (auf Englisch) stehen z.B. in meinem Übersichtsartikel zur tropischen Geometrie.