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Commutative Algebra

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Commutative Algebra

Aktuelles

Der Freitagsvorlesungen wurden auf 8:15 Uhr verlegt und finden nun in Raum 48-538 statt.

Inhalt

Eine natürliche Verallgemeinerung des Begriffs des Vektorraumes über einem Körper ist der des Moduls über einem (kommutativen) Ring (z. B. ist jede abelsche Gruppe ein Modul über dem Ring der ganzen Zahlen). Dabei verzichten wir lediglich darauf, dass die Skalare multiplikative Inverse besitzen - die Auswirkungen sind jedoch "verheerend": Ein Modul besitzt im allgemeinen keine Basis mehr und wir verlieren den Begriff der "Dimension". Lineare Algebra wurde in den ersten Semestern als Theorie der endlich-dimensionalen Vektorräume gelehrt, und vieles hing davon ab, dass die betrachteten Vektorräume "endliche Dimension" hatten. Wir werden in der Vorlesung einige "Endlichkeitsbedingungen" kennen lernen, die den Begriff der endlichen Dimension verallgemeinern und ersetzen (endlich erzeugt, noethersch, artinsch, endliche Länge).

Der Verzicht auf multiplikative Inverse führt aber auch zu einer reicheren Struktur bei den Ringen selbst. Betrachtet man einen Körper als Vektorraum über sich selbst, das heißt man betrachtet die Elemente als Vektoren der Länge eins, so hat er nur zwei Unterräume. Fasst man einen Ring hingegen als Modul über sich selbst auf, so hat er in aller Regel sehr viele "Untermoduln", die für gewöhnlich Ideale genannt werden. Gewissen (Klassen) dieser Ideale kommt dabei eine besondere Bedeutung zu. Die Vorlesung wird ein besonderes Augenmerk auf maximale Ideale, Primideale und Primärideale legen (Primärzerlegung, Nilradikal, Jacobson-Radikal). Diese können mit den Punkten geometrischer Objekte identifiziert werden und führen so zu einer faszinierenden Wechselbeziehung zwischen Geometrie und Algebra, die Gegenstand der algebraischen Geometrie ist.

Wann immer man eine Struktur betrachtet (z. B. Gruppen, Vektorräume, topologische Räume), betrachet man auch strukturerhaltende Abbildungen (z. B. Gruppenhomomorphismen, lineare Abbildungen, stetige Abbildungen). In der Algebra nennt man diese für gewöhnlich "Homomorphismen". Körperhomomorphismen sind sehr restriktiv. Sobald sie nicht alles auf die Null abbilden, sind sie bereits injektiv. Dies ist bei Ringhomomorphismen nicht mehr der Fall. Auch hier erlauben Ringe wieder eine größere Vielfalt, die wir in Auszügen in der Vorlesung betrachten werden (ganze Ringerweiterungen, Noether-Normalisierung, going-up, going-down).

Und schließlich ist da noch der Begriff der Lokalisierung, bei dem es sich schlicht um das Konzept der Brüche handelt. So wie man in der Schule die rationalen Zahlen als Brüche ganzer Zahlen einführt (wobei man die Kürzungsregeln beachten muss), um das Fehlen von multiplikativen Inversen im Ring der ganzen Zahlen zu beheben (auch wenn das kein Lehrer so sagen würde), so kann man (unter guten Voraussetzungen) auch in anderen Ringen Brüche zulassen und erhält interessante neue Strukturen (Quotientenringe, lokale Ringe, Nakayama-Lemma).

Die Möglichkeit, eine ganze Zahl in ein Produkt von Primzahlen zerlegen zu können, macht die ganzen Zahlen unglaublich sympatisch ... und nützlich. Diese Eigenschaft sinnvoll auf andere Ringe verallgemeinern zu können, scheint deshalb sehr erstrebenswert. Mögliche Verallgemeinerungen stellen die faktoriellen Ringe dar (etwa der Polynomring), die Dedekindringe (die in der Zahlentheorie von großem Interesse sind) oder allgemein die Theorie der Primärzerlegung in noetherschen Ringen. Letztere hat eine interessante geometrische Entsprechung, nämlich die Zerlegung eines geometrischen Raumes in seine irreduzible Komponenten (etwa die Aufspaltung des durch die Gleichung x*y=0 definierten Koordinatensystems in zwei Geraden).

Termine

  • Vorlesungstermine: (Eintrag im KIS)

    • Di, 10:00 - 11:30, 48-438, Beginn: 27.10.2015
    • Fr, 8:15 - 9:45, 48-538, Beginn: 30.10.2015

  • Übungsgruppentermine: (Eintrag im KIS)

    • Mi, 15:30 - 17:00, 46-268, Beginn: 4.11.2015

    Übungsgruppenleiter: Lucas Ruhstorfer

Übungsblätter

Bitte entnehmen Sie das genaue Abgabedatum den Übungszetteln. Sie können allein oder in Gruppen von bis zu drei Studenten abgeben.

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Leistungsnachweis

Eine regelmäßige, aktive und erfolgreiche Teilnahme in den Übungsgruppen ist Voraussetzung für den Erhalt eines Übungsscheins. Dazu zählt insbesondere, dass Sie mindestens 40 % der Übungspunkte erreichen und eigene Lösungen an der Tafel präsentieren.

Am Ende des Semester finden mündliche Prüfungen statt, für die Sie Credit Points erhalten können.

Bei weitergehenden Fragen wenden Sie sich bitte an Ihren Fachstudienberater. Falls Sie Mathematik studieren, finden Sie diesen hier.

Literatur

Bilder

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Skript

Zur Vorlesung gibt es ein Skript mit zusätzlichen Kommentaren von Felix Boos. Zum Nacharbeiten empfehlen wir außerdem das Skript von Thomas Markwig.