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Forschung

Inhaltsbereich / Content

Forschungsgebiete

  • Funktionalanalysis (Operator-Halbgruppen, Dirichlet-Formen)
  • Stochastische Analysis (Konstruktion, Ergodizität und Skalierungslimiten von stochastischen Dynamiken)
  • White Noise Analysis
  • Mathematische Physik (Statistische Mechanik, Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie, Polymer-Modelle)

 

Operator-Halbgruppen sind ein sehr nützliches Werkzeug, um Lösungen zu (stochastischen, partiellen) Differentialgleichungen zu analysieren. Operator-Halbgruppen assoziiert mit Dirichlet-Formen verwenden wir zur Konstruktion von Lösungen zu stochastischen Differentialgleichungen (SDGn), zur Analyse von deren Eigenschaften und zum Ermitteln von deren Langzeitverhalten. Auch Skalierungslimiten von Lösungen zu SDGn betrachten wir unter der Verwendung von Dirichlet-Formen in Kombination mit Konzepten wie dem der Gamma- oder Mosco-Konvergenz. Viele dieser Analysen können auf die Lösung zu den über die Itô-Formel assoziierten partiellen Differentialgleichungen übertragen werden. Auch stochastische partielle Differentialgleichungen sind im Fokus unserer Forschung. Ein Zugang ist über Dirichlet-Formen zu unendlichdimensionalen Zustandsräumen, ein weiterer geht über das Konzept der milden Lösungen zu Operator-Halbgruppen. Neben konzeptioneller Forschung sind wir auch immer sehr an Anwendungen interessiert. Dabei gab und gibt es einige Projekte zu Problemen aus der Statistischen Physik (Konstruktion und Analyse von stochastischen Dynamiken in kontinuierlichen Teilchensystemen; Skalierungslimiten von kontinuierlichen, unendlichen Teilchensystemen; Benetzungs-Modelle und deren Skalierungslimiten), und der Industriemathematik (Fadenniederlegungs-Modelle, stochastische partielle Differentialgleichungen zu Strömungsdynamiken mit algebraischer Zwangsbedingung).


Die White Noise Analysis oder allgemeiner die Gaußsche Analysis ermöglicht eine Analysis auf unendlichdimensionalen Räumen. Die Nichtexistenz eines lokal endlichen, translationsinvarianten Maßes (Lebesgue-Maß) auf unendlichdimensionalen Vektorräumen, lässt Gaußsche Maße auf solchen Räumen in den Vordergrund rücken. In der Gaußschen Analysis auf konuklearen, unendlichdimensionalen Vektorräumen wurde eine reichhaltige Analysis entwickelt. Sie enthält Konzepte wie die der Fouriertransformation, der Differentialoperatoren und der Distributionenräume (Räume verallgemeinerte Funktionen). Wir arbeiten an der Weiterentwicklung dieser Analysis und sind dabei sehr an Anwendungen orientiert. Diese sind im Bereich der Quantenmechanik (Feynman-Pfadintegrale), Quantenfeldtheorie (Wightman-Funktionen), Polymer-Modelle (Edwards-Modell) und der Stochastischen Partiellen Differentialgleichungen. Seit kurzem Arbeiten wir auch an der Entwicklung einer nicht-Gaußschen Analysis des Grauen Rauschens. Von dieser neuen Forschungsrichtung erwarten wir unter anderem eine Verallgemeinerung der Feynman-Kac-Formel auf zeitfraktionale Wärmeleitungsgleichungen und die Möglichkeit, zeitfraktionale Schrödingergleichungen zu analysieren.