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Forschung

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Forschung

Die Forschungsschwerpunkte der Arbeitsgruppe liegen zur Zeit in den Bereichen 

  • Stochastische Analysis, insbesondere Differenzierbare Maße, Diffusionen und Randwertprobleme  
  • Trennung von Wahrscheinlichkeitsmaßen mit Methoden aus der Informationstheorie und großen Abweichungen

Einen Eindruck vermitteln die Examensthemen.

Diese Seite enthält eine leicht verständliche Einführung, die einige Fragen beschreibt, mit denen sich unsere Arbeitsgruppe beschäftigt.

Was haben Blütenpollen mit der Verteilung von Primzahlen, was haben Aktienkurse mit Wärmeisolation, was haben Mandelbrot-Mengen (Apfelmännchen) mit Datenkompression, was hat die Simulation von Polymeren (langen Molekülen) mit der Definition des Integrals zu tun?

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung taucht in allen diesen Bereichen auf: Sie stellt Begriffe bereit, die Querverbindungen zwischen ganz verschiedenen Disziplinen innerhalb und außerhalb der Mathematik herstellen. Insbesondere handelt sie nicht nur von Würfeln und ähnlichen Problemen, bei denen man Kombinationsmöglichkeiten abzählt (was übrigens auch manchmal faszinierend schwierig sein kann). Vielmehr ist die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie in einem ständigen Austausch mit der aktuellen Weiterentwicklung der Differential- und Integralrechnung, dh. der reellen Analysis.

Zum Beispiel ist ein zentrales Objekt die sogenannte Brownsche Bewegung, die in der Biologie entdeckt wurde, aber später als mathematisches Modell mit großem Erfolg in vielen anderen Gebieten Einzug hielt: In der physikalische Theorie der Wärme (durch Einstein), in die Elektrotechnik (durch Norbert Wiener) und zur Beschreibung von Aktienkursen (vgl. auch die AG Finanzmathematik). Die Kurven, die die Brownsche Bewegung (siehe Bild) durchläuft, sind so wild, daß sie nirgends Tangenten haben. Trotzdem kann man durch eine geeigneten Mittelungsprozess Ableitungen bilden, wobei dann aber neue wahrscheinlichkeitstheoretische Rechenregeln gelten.

Unsere Arbeitsgruppe widmet sich der Grundlagenforschung in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Einige der von uns behandelten Fragen seien an dem Bild erläutert. Es zeigt einen typischen "Pfad" einer zweidimensionalen Brownschen Bewegung mit einer leichten Drift (der Wind bläst von links unten nach rechts oben). Der Pfad startet im Ursprung des Koordinatensystems und wurde gestoppt bei Eintritt in den Rand des Kreises.

Wie schnell kann man aus der Beobachtung des Pfades Kenntnis erhalten über die Stärke und die Richtung der Drift? Fragen dieser Art hängen mit der Statistik (siehe AG Statistik) zusammen ebenso wie mit Problemen der Informationstheorie, die auch ein Gegenstand unserer Arbeit ist.

Welches sind die geometrischen Eigenschaften des Pfades, z.B.: Wie groß ist der Anteil der Ebene, der von dem Pfad überdeckt wird? Die Geometrie von irregulären Mengen (wie dieser Pfad) ist das Thema der fraktalen Geometrie und der geometrischen Maßtheorie.

Wenn viele Teilchen unabhängig voneinander eine solche Bewegung ausführen, gelegentlich sich verzweigen oder absterben, wie verhält sich die entstehende Punktwolke im Lauf der Zeit? Wie dick ist sie?

Was passiert mit Differentialgleichungen, die durch eine solche Brownsche Bewegung gestört werden? Solche Modelle sind erst kürzlich zur Erkärung des (nur beinahe) periodischen Auftretens von Eiszeiten verwendet worden.

Was geschieht, wenn die Kreisscheibe durch eine gekrümmte Fläche ersetzt wird, oder, wie in der Physik, durch einen gekrümmten Raum?