Termin: Di 15:30-17:00 in Raum 48-438, Beginn in der 2. Semesterwoche (26. April)

Voraussetzungen: Grundlagen der Mathematik 1 und 2

Literatur: Manfredo do Carmo, "Differential Geometry of Curves and Surfaces" (s.u.)

Themen für die einzelnen Wochen

Aufgrund einer zu geringen Teilnehmerzahl konnten nicht alle Themen des Proseminars als Vorträge vergeben werden. Die anderen Themen (die unten niemandem zugeordnet sind) werden wir daher im Stil eines "Reading Course" durchsprechen. Dies bedeutet, dass ihr in diesen Wochen den jeweiligen Stoff vorher durchlest und wir ihn dann in der Zeit des Proseminars besprechen (in einer Mischung aus Vorlesung und Tutorium).

Wer sich noch nachträglich für das Proseminar anmelden oder sein Vortragsthema tauschen möchte, schreibe mir bitte eine Mail.

1.	26.4.		Kurven, Frénet-Formeln	1.2-1.5
2.	3.5.		Reguläre Flächen	2.2, 2.3
3.	10.5.		Mannigfaltigkeiten und Tangentialräume	2.4, 5.10 bis vor Definition 5
4.	17.5.	Fabian Engelmann	Flächeninhalt und Orientierbarkeit	2.5, 2.6, Idee von 2.8, 5.10 Definition 5 und Example 5
5.	24.5.	Ferdinand Küsters	Gaußabbildung und Krümmungen	3.2, 3.3
6.	31.5.	Falko Gauß	Vektorfelder und Koordinatensysteme	3.4
7.	7.6.	Maximilian Kammermeier	Regelflächen und Minimalflächen	3.5
8.	21.6.	Arthur Romanow	Theorema Egregium	Reste von 3.3, 4.2 bis vor Definition 3, 4.3
9.	28.6.	Sebastian Muskalla	Kovariante Ableitungen und Paralleltransport	4.4 bis Proposition 4
10.	5.7.		Der Satz von Gauß-Bonnet I	4.5
11.	12.7.		Der Satz von Gauß-Bonnet II	4.5
12.	19.7.		Die Exponentialabbildung und der Satz von Hopf-Rinow	4.6, 5.3

Die Kapitelangaben beziehen sich auf das unten angegebene Buch "Differential Geometry of Curves and Surfaces" von Manfredo do Carmo.

Inhalt des Proseminars

Die Differentialgeometrie beschäftigt sich mit geometrischen Objekten, die lokal "wie ein verbogener Rⁿ aussehen" - den sogenannten Mannigfaltigkeiten - und untersucht diese mit Hilfe von differenzierbaren Abbildungen. So ist zum Beispiel die Oberfläche des rechts dargestellten "Knopfes" eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Ein paar interessante Resultate, die wir in diesem Proseminar erhalten werden, sind:

• Minimalflächen: Taucht man ein Drahtgerüst in eine Seifenlauge, so bildet sich beim Herausziehen ein Seifenfilm, der unter den gegebenen Randbedingungen (d.h. dass er am Drahtgerüst endet) eine möglichst kleine Oberfläche hat. Derartige Flächen nennt man Minimalflächen. Wir werden in unserem Proseminar sehen, wie solche Minimalflächen aussehen und wie man sie berechnen kann.
• Igelsatz: Ein gekämmter Igel hat mindestens einen Glatzpunkt. Etwas mathematischer ausgedrückt soll dies bedeuten: gibt man an jedem Punkt einer Kugeloberfläche einen Tangentialvektor an (also die Kämmrichtung des Igels), so geht dies (auf differenzierbare Art) nur dann, wenn dieser Tangentialvektor an mindestens einer Stelle Null ist. Eine andere Formulierung derselben Aussage ist: zu jedem gegebenen Zeitpunkt gibt es auf der Erde mindestens einen Punkt, an dem es windstill ist.
• Satz von Gauß-Bonnet: An jedem Punkt einer Fläche kann man eine Krümmung definieren, die angibt, ob die Fläche dort lokal wie eine "Beule" (dann ist die Krümmung positiv) oder wie eine "Sattelfläche" aussieht (dann ist die Krümmung negativ). Der Knopf oben rechts hat zum Beispiel an seinem Außenrand eine positive und am Innenrand der Knopflöcher eine negative Krümmung. Der Satz von Gauß-Bonnet besagt nun, dass das Integral dieser Krümmung über die gesamte Fläche gleich 2-2g ist, wobei g das sogenannte Geschlecht der Fläche, also die Anzahl ihrer "Löcher" ist (im Fall des Knopfes also 2). Der Satz stellt somit einen wichtigen Zusammenhang zwischen differenzierbaren und topologischen Eigenschaften der Fläche her.

In der Tat hat die Differentialgeometrie zu vielen anderen Gebieten der Mathematik enge Beziehungen (mit zum Teil fließenden Übergängen) - z.B. zur Topologie, zur Vektoranalysis und zur algebraischen Geometrie. Für Physiker ist vielleicht auch interessant zu wissen, dass auch die allgemeine Relativitätstheorie aus mathematischer Sicht letztlich Differentialgeometrie ist. In allen diesen Gebieten kommen die oben erwähnten Mannigfaltigkeiten ebenfalls vor und werden mit jeweils anderen Methoden untersucht. Die Vorlesungen "Einführung in die Topologie" und "Vektoranalysis", die ihr im kommenden Semester ja ebenfalls hören könnt, stellen daher sehr gute Ergänzungen zu diesem Proseminar dar, auch wenn der Inhalt dieser Vorlesungen im Proseminar natürlich nicht vorausgesetzt wird.

Scheinvergabe

Einen Proseminarschein bekommt, wer seinen Vortrag mit Erfolg hält und regelmäßig im Proseminar anwesend ist. Eine nachträgliche schriftliche Ausarbeitung des Vortrags ist nicht erforderlich.

Literatur

Wir werden im Proseminar nach dem Buch "Differential Geometry of Curves and Surfaces" von Manfredo do Carmo vorgehen. Es gibt von diesem Buch auch eine deutsche Übersetzung ("Differentialgeometrie von Kurven und Flächen"), in der allerdings leider ein ganzes Kapitel fehlt. Für den größten Teil, allerdings nicht für alles, kann also auch dieses deutsche Buch verwendet werden. Die Vorträge werden aber natürlich in jedem Fall auf deutsch gehalten.

Ablauf des Proseminars

Jeder der Teilnehmer bekommt bei der Vorbesprechung einen 90-minütigen Vortrag zu einem der vergebenen Themen zugeteilt.

Spätestens zwei Wochen vor eurem Vortrag erwarte ich, dass ihr mit einem durchdachten Konzept zu mir kommt und wir den genauen Inhalt des Vortrags absprechen sowie evtl. Fragen eurerseits klären können. Bitte macht dafür rechtzeitig vorher per Mail mit mir einen Termin ab, da diese Besprechungen auch mal etwas länger dauern können ;-). Spätestes eine Woche vorher muss der Vortrag dann komplett fertig sein; auch dies werden wir uns dann noch einmal zusammen anschauen und evtl. Änderungen besprechen. Natürlich könnt ihr (wie immer) auch unabhängig davon zwischendurch zu mir kommen, wenn ihr an einer Stelle nicht weiter kommt und Hilfe braucht.

Der Vortrag selbst ist dann an der Tafel zu halten. Ihr könnt dabei gerne einen "Spickzettel" benutzen, solltet euch aber bemühen, den Vortrag möglichst frei zu halten - ein reines Abschreiben des Vortrags vom Zettel ist nicht zulässig! Folien und Handouts sind nur in Ausnahmefällen erlaubt, z.B. wenn ihr für ein konkretes Beispiel ein kompliziertes Bild braucht, für das ihr sonst zu lange zum Hinmalen bräuchtet; aber z.B. sicher nicht, um "eben mal schnell" die ganzen Definitionen zu zeigen, die ihr verwenden werdet - die kann sich nämlich niemand so schnell merken. Um Himmels willen keine Powerpoint-Präsentationen! Wenn ihr so viel Stoff habt, dass ihr ihn in 90 Minuten nicht an der Tafel erklären könnt, habt ihr noch zu viel und müsst weiter auswählen - Mathematik kann man nicht im Eiltempo verstehen.

In diesem Zusammenhang noch ein offensichtlicher, aber leider oft nicht beachteter Hinweis: ihr haltet euren Vortrag nicht für mich oder für euch selbst, sondern für die anderen Teilnehmer des Proseminars. Richtet euch also an eure Mitstudenten - und bedenkt dabei, dass diese sich mit eurem Stoff noch nicht seit ein paar Wochen beschäftigen und dass ihnen daher längst nicht alles klar ist, was für euch inzwischen selbstverständlich ist. Es geht nicht darum zu zeigen, was für schwierige Sachen ihr an die Tafel schreiben könnt, sondern einen für alle verständlichen und interessanten Vortrag zu halten - in der Tat ist dies das Hauptziel des Proseminars.

Für weitere Hinweise und Tipps möchte ich euch schließlich noch den Text "Wie halte ich einen Seminarvortrag?" von meinem Kollegen Manfred Lehn in Mainz ans Herz legen, der recht ausführlich und nicht ganz ohne Humor die wesentlichen Punkte aufzeigt, und dem ich mich voll und ganz anschließen kann.