Thomas Markwig Kommutative Algebra - WS 2011/12
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Termine:

Vorlesung: Mo 15:30-17:00, Rm 48-438 und Di 15:30-17:00, Rm (48-438 oder 48-538)
Übung: Mi 15:30-17:00, Rm 48-438 (Christian Eder)

Aktuelles:

  1. Die Dienstagvorlesung wird bis auf weiteres in Raum 48-538 stattfinden (und nicht in 48-438). Der Raum 48-538 ist dienstags von 15:30-17:00 Uhr für das Fachbereichskolloquium reserviert, und an Tagen, an denen dieses stattfindet, müssen wir kurzfristig wieder in Raum 48-438 ausweichen. An den anderen Tagen haben wir aber den größeren Raum.
  2. Die Vorlesung, die durch Allerheiligen ausfällt, wird am Mittwoch, den 2.11., von 17:15-18:45 Uhr in Raum 48-538 nachgeholt.
  3. Wer an den Übungen teilnehmen möchte, kann seine Daten bereits im Anmeldesystem eintragen. Als Termin für die Übungen ist Mittwoch, 15:30 Uhr vorgesehen. Sollte sich der Termin als ungünstig erweisen, können wir versuchen, einen Alternativtermin zu finden.
  4. Simon Hampe hat seine Mitschriften eines großen Teils der Vorlesung Commutative Algebra geTeXt und stellt Euch seine Mitschriften zur Verfügung. Wenn Euch Fehler auffallen, teilt sie mir bitte mit:

Aufgaben / Ausarbeitungen:

PDF Dateien: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 .

Literatur:

Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley.
Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, CUP.
Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra.
David Eisenbud, Commutative Algebra with a View towards Algebraic Geometry, Springer.
Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister, A Singular Introduction to Commutative Algebra, Springer.
Winfried Bruns, Zahlentheorie, Osnabrücker Schriften zur Mathematik.

Inhalt:

Eine natürliche Verallgemeinerung des Begriffs des Vektorraumes über einem Körper ist der des Moduls über einem (kommutativen) Ring (z.B. jede abelsche Gruppe ist ein Modul über dem Ring der ganzen Zahlen). Dabei verzichten wir lediglich darauf, daß die Skalare multiplikative Inverse besitzen - die Auswirkungen sind jedoch "verheerend": ein Modul besitzt im allgemeinen keine Basis mehr und wir verlieren den Begriff der "Dimension". Lineare Algebra wurde in den ersten Semestern als Theorie der endlich-dimensionalen Vektorräume gelehrt, und vieles hing davon ab, daß die betrachteten Vektorräume "endliche Dimension" hatten. Wir werden in der Vorlesung einige "Endlichkeitsbedingungen" kennen lernen, die den Begriff der endlichen Dimension verallgemeinern und ersetzen (endlich erzeugt, noethersch, artinsch, endliche Länge).

Der Verzicht auf multiplikative Inverse führt aber auch zu einer reicheren Struktur bei den Ringen selbst. Betrachtet man einen Körper als Vektorraum über sich selbst, das heißt man betrachtet die Elemente als Vektoren der Länge eins, so hat er nur zwei Unterräume. Faßt man einen Ring hingegen als Modul über sich selbst auf, so hat er in aller Regel sehr viele "Untermoduln", die für gewöhnlich Ideale genannt werden. Gewissen (Klassen) dieser Ideale kommt dabei eine besondere Bedeutung zu. Die Vorlesung wird ein besonderes Augenmerk auf maximale Ideale, Primideale und Primärideale legen (Primärzerlegung, Nilradikal, Jacobsen Radikal). Diese können mit den Punkten geometrischer Objekte identifiziert werden und führen so zu einer faszinierenden Wechselbeziehung zwischen Geometrie und Algebra, die Gegenstand der algebraischen Geometrie ist.

Wann immer man eine Struktur betrachtet (z.B. Gruppen, Vektorräume, topologische Räume) betrachet man auch strukturerhaltende Abbildungen (z.B. Gruppenhomomorphismen, lineare Abbildungen, stetige Abbildungen). In der Algebra nennt man diese für gewöhnlich "Homomorphismen". Körperhomomorphismen sind sehr restriktiv. Sobald sie nicht alles auf die Null abbilden, sind sie bereits injektiv. Dies ist bei Ringhomomorphismen nicht mehr der Fall. Auch hier erlauben Ringe wieder eine größere Vielfalt, die wir in Auszügen in der Vorlesung betrachten werden. (ganze Ringerweiterungen, Noether-Normalisierung, going-up, going-down)

Und schließlich ist da noch der Begriff der Lokalisierung, bei dem es sich schlicht um das Konzept der Brüche handelt. So wie man in der Schule die rationalen Zahlen als Brüche ganzer Zahlen einführt (wobei man die Kürzungsregeln beachten muß), um das Fehlen von multiplikativen Inversen im Ring der ganzen Zahlen zu beheben (auch wenn das kein Lehrer so sagen würde), so kann man (unter guten Voraussetzungen) auch in anderen Ringen Brüche zulassen und erhält interessante neue Strukturen. (Quotientenringe, lokale Ringe, Nakayama Lemma)

Die Möglichkeit, eine ganze Zahl in ein Produkt von Primzahlen zerlegen zu können, macht die ganzen Zahl unglaublich sympatisch ... und nützlich. Diese Eigenschaft sinnvoll auf andere Ringe verallgemeinern zu können, scheint deshalb sehr erstrebenswert. Mögliche Verallgemeinerungen stellen die faktoriellen Ringe dar (etwa der Polynomring), die Dedekindringe (die in der Zahlentheorie von großem Interesse sind) oder allgemein die Theorie der Primärzerlegung in noetherschen Ringen. Letztere hat eine interessante geometrische Entsprechung, nämlich die Zerlegung eines geometrischen Raumes in seine irreduzible Komponenten (etwa die Aufspaltung des durch die Gleichung x*y=0 definierten Koordinatensystems in zwei Geraden).

TU KaiserslauternFB MathematikAG Algebra & GeometrieCAS SINGULAR KIS