Fragebogen I

Einführung in die Mathematik I


Überlegen Sie jeweils, ob die gegebene Aussage richtig oder falsch ist. Sie müssen also entweder ein Argument für die Richtigkeit finden, oder sich ein konkretes Beispiel überlegen, welches die Aussage widerlegt. Wenn Sie unsicher sind, probieren Sie einfach mal, ein solches Gegenbeispiel zu finden.


1. Formale Aussagen

Welche der folgenden mathematischen Aussagen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . $ \forall\; x\in {\mathbb{R}}\,\ \exists\; y\in {\mathbb{R}}: \; x<y\,.$
? .     b) ? . $ \exists\; y\in {\mathbb{R}}\,\ \forall\; x\in {\mathbb{R}}: \; x<y\,.$
? .     c) ? . $ \exists\; x\in {\mathbb{R}}\,\ \forall\; y\in {\mathbb{R}}: \; x\geq y\,.$
? .     d) ? . $ \forall\; x\in {\mathbb{R}}\,\ \exists\; n\in {\mathbb{Z}}: \;
\vert x-n\vert<\dfrac{1}{2}\,.$
? .     e) ? . $ \forall\; x\in {\mathbb{R}}\,\ \forall\; y\in {\mathbb{R}}: \; \Bigl(x<y \Longrightarrow
\exists\; z\in {\mathbb{R}}: \,x<z<y\Bigr)\,.$

[ Bemerkungen zur Lösung]


2. Logische Implikationen

Es seien $ A$, $ B$ und $ C$ Aussagen, für welche die Implikationen ,, $ A\!
\implies\! B$`` und ,, $ B\!\implies\! C$`` gelten. Welche der folgenden Implikationen sind damit ebenfalls richtig?

. W . F
? .     a) ? . $ A\implies C$.
? .     b) ? . $ B\implies A$.
? .     c) ? . $ C\implies A$.
? .     d) ? . nicht $ A\implies$   nicht $ B$.
? .     e) ? . nicht $ B\implies$   nicht $ A$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


3. Mengen

Es seien $ M$ und $ N$ zwei beliebige Mengen. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

. W . F
? .     a) ? . $ M\setminus N=M \iff M\cap N=\emptyset\,.$
? .     b) ? . $ M \setminus N=\emptyset \iff M=N\,.$
? .     c) ? . Hat $ M$ genau $ m$ Elemente, und hat $ N$ genau $ n$ Elemente, so hat $ M\cup N$ genau $ m+n$ Elemente.
? .     d) ? . $ M\cup N$ endlich $ \implies$ $ M$, $ N$ endlich.
? .     e) ? . $ M\cap N$ endlich $ \implies$ $ M$ endlich oder $ N$ endlich.

[ Bemerkungen zur Lösung]


4. Abbildungen (1)

Es seien $ M,N$ Mengen mit mindestens zwei Elementen, und sei $ f:M\to N$ eine injektive Abbildung. Welche der folgenden Aussagen gelten?

. W . F
? .     a) ? . Zu $ f$ existiert die inverse Abbildung $ f^{-1}:N\to M$.
? .     b) ? . $ \forall\; y\in N\,\ \exists\; x\in M:\: f(x)=y.$
? .     c) ? . Jedes Element in $ N$ hat ein Urbild.
? .     d) ? . $ f(M)=N$.
? .     e) ? . Hat $ M$ genau $ m$ Elemente und $ N$ genau $ n$ Elemente, so ist $ m\leq n$.
? .     f) ? . Jede Faser von $ f$ besteht aus höchstens einem Element.
? .     g) ? . Sind $ M$ und $ N$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, so ist $ f$ sogar bijektiv.
? .     h) ? . Falls $ M=N$, so sind die Abbildungen $ f^k=\underbrace{f\circ \ldots\circ
f}_{k-\textrm{mal}}$, $ k\in {\mathbb{N}}$, jeweils injektiv.

[ Bemerkungen zur Lösung]


5. Äquivalenzrelationen (1)

Welche der folgenden Definitionen definieren eine Äquivalenzrelation auf der Menge $ {\mathbb{R}}$?

. W . F
? .     a) ? . $ x\sim y :\iff x-y\geq 0.$
? .     b) ? . $ x\sim y :\iff \vert x-y\vert\leq 1.$
? .     c) ? . $ x\sim y :\iff \vert x\vert=\vert y\vert.$
? .     d) ? . $ x\sim y :\iff (x-y)^{3}\geq 0.$
? .     e) ? . $ x\sim y :\iff (x-y)^{4}\geq 0.$

[ Bemerkungen zur Lösung]


6. Äquivalenzrelationen (2)

Welche der folgenden Relationen auf $ {\mathbb{Z}}$ sind Äquivalenzrelationen?

. W . F
? .     a) ? . $ x\sim y:\iff x\in 2{\mathbb{Z}},\ y\in 2{\mathbb{Z}}.$
? .     b) ? . $ x\sim y:\iff x-y\in 2{\mathbb{Z}}.$
? .     c) ? . $ x\sim y:\iff x+y\in 2{\mathbb{Z}}.$
? .     d) ? . $ x\sim y:\iff xy \in 2{\mathbb{Z}}.$
? .     e) ? . $ x\sim y:\iff x+y \in {\mathbb{Z}}\setminus 2{\mathbb{Z}}.$
? .     f) ? . $ x\sim y:\iff xy \in {\mathbb{Z}}\setminus 2{\mathbb{Z}}.$

[ Bemerkungen zur Lösung]


7. Abbildungen (2)

Gegeben seien die Abbildungen

\begin{displaymath}
\renewedcommand{arraycolsep}{2pt}\begin{array}{rcl}
f:{\math...
..._{\geq 0}\,, \\
x & \mapsto & \min \{ f(x),g(x)\}.
\end{array}\end{displaymath}

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

. W . F
? .     a) ? . $ f$ ist injektiv.
? .     b) ? . $ f$ ist surjektiv.
? .     c) ? . $ f\circ g=g\circ f$.
? .     d) ? . $ g$ ist bijektiv.
? .     e) ? . $ h$ ist bijektiv.

[ Bemerkungen zur Lösung]





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