Fragebogen I (leichte Version)

Einführung in die Mathematik I


Überlegen Sie jeweils, ob die gegebene Aussage richtig oder falsch ist. Sie müssen also entweder ein Argument für die Richtigkeit finden, oder sich ein konkretes Beispiel überlegen, welches die Aussage widerlegt. Wenn Sie unsicher sind, probieren Sie einfach mal, ein solches Gegenbeispiel zu finden.


1. Formale Aussagen

Welche der folgenden mathematischen Aussagen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . $ \forall\; x\in {\mathbb{R}}\,\ \forall\; y\in {\mathbb{R}}: \; x<y\,.$
? .     b) ? . $ \forall\; x\in {\mathbb{R}}\,\ \exists\; y\in {\mathbb{R}}: \; x<y\,.$
? .     c) ? . $ \exists\; y\in {\mathbb{R}}\,\ \forall\; x\in {\mathbb{R}}: \; x<y\,.$
? .     d) ? . $ \exists\; x\in {\mathbb{R}}\,\ \forall\; y\in {\mathbb{R}}: \; x\leq y\,.$
? .     e) ? . $ \forall\; x\in {\mathbb{R}}\,\ \forall\; y\in {\mathbb{R}}: \; \Bigl(x<y \Longrightarrow
\exists\; z\in {\mathbb{R}}: \,x<z<y\Bigr)\,.$

[ Bemerkungen zur Lösung]


2. Logische Implikationen

Es seien $ A$, $ B$ und $ C$ Aussagen, für welche die Implikationen ,, $ A\!
\Longrightarrow\! B$`` und ,, $ B\!\Longrightarrow\! C$`` gelten. Welche der folgenden Implikationen sind damit ebenfalls richtig?

. W . F
? .     a) ? . $ A\Longrightarrow C$.
? .     b) ? . $ B\Longrightarrow A$.
? .     c) ? . $ C\Longrightarrow A$.
? .     d) ? . nicht $ A\Longrightarrow$   nicht $ B$.
? .     e) ? . nicht $ B\Longrightarrow$   nicht $ A$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


3. Mengen

Es seien $ M$ und $ N$ zwei beliebige Mengen. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

. W . F
? .     a) ? . $ M=N \Longrightarrow \forall\ m\in M : \ m\in N\,.$.
? .     b) ? . $ M=N \Longleftarrow \forall\ m\in M : \ m\in N\,.$
? .     c) ? . $ M\setminus N=M \iff M\cap N=\emptyset\,.$
? .     d) ? . Hat $ M$ genau $ m$ Elemente, und hat $ N$ genau $ n$ Elemente, so hat $ M\cup N$ genau $ m+n$ Elemente.
? .     e) ? . $ M\cup N$ endlich $ \Longrightarrow$ $ M$, $ N$ endlich.

[ Bemerkungen zur Lösung]


4. Abbildungen (1)

Es seien $ M,N$ Mengen mit mindestens zwei Elementen, und $ f:M\to N$ sei eine injektive Abbildung. Welche der folgenden Aussagen gelten?

. W . F
? .     a) ? . Zu $ f$ existiert die inverse Abbildung $ f^{-1}:N\to M$.
? .     b) ? . Jedes Element in $ N$ hat ein Urbild.
? .     c) ? . Jede Faser von $ f$ besteht aus höchstens einem Element.
? .     d) ? . Verschiedene Elemente von $ M$ werden auf verschiedene Elemente von $ N$ abgebildet.
? .     e) ? . Für jede Abbildung $ g:N\to M$ gilt $ f\circ g$ ist injektiv.
? .     f) ? . Für jede Abbildung $ g:N\to M$ gilt $ g\circ f$ ist injektiv.

[ Bemerkungen zur Lösung]


5. Abbildungen (2)

Gegeben seien die Abbildungen

\begin{displaymath}
\renewedcommand{arraycolsep}{2pt}\begin{array}{rcl}
f:{\math...
... {\mathbb{R}}\,, \\
x & \mapsto & \vert x\vert \,,
\end{array}\end{displaymath}

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

. W . F
? .     a) ? . $ f$ ist injektiv.
? .     b) ? . $ f$ ist surjektiv.
? .     c) ? . $ f\circ g=g\circ f$.
? .     d) ? . $ g$ ist bijektiv.

[ Bemerkungen zur Lösung]


6. Äquivalenzrelationen

Welche der folgenden Definitionen definieren eine Äquivalenzrelation auf der Menge $ {\mathbb{R}}$?

. W . F
? .     a) ? . $ x\sim y :\iff x=y.$
? .     b) ? . $ x\sim y :\iff \vert x\vert=\vert y\vert.$
? .     c) ? . $ x\sim y :\iff x-y\geq 0.$
? .     d) ? . $ x\sim y :\iff \vert x-y\vert\leq 1.$
? .     e) ? . $ x\sim y :\iff xy=0.$

[ Bemerkungen zur Lösung]





Impressum   Datenschutzerklärung