Fragebogen II

Einführung in die Mathematik I


Überlegen Sie jeweils, ob die gegebene Aussage richtig oder falsch ist. Sie müssen also entweder ein Argument für die Richtigkeit finden, oder sich ein konkretes Beispiel überlegen, welches die Aussage widerlegt. Wenn Sie unsicher sind, probieren Sie einfach mal, ein solches Gegenbeispiel zu finden.


1. Abzählbarkeit

Welche der folgenden Mengen sind abzählbar?

. W . F
? .     a) ? . Die Menge der ganzen Zahlen.
? .     b) ? . Die Menge der rationalen Zahlen.
? .     c) ? . Das Intervall $ [0,1]$.
? .     d) ? . Die Menge $ {\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}}$.
? .     e) ? . Die Menge aller endlichen Teilmengen von $ {\mathbb{N}}$.
? .     f) ? . Die Menge aller Teilmengen von $ {\mathbb{N}}$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


2. Gruppen

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . Jede Gruppe hat mindestens ein Element.
? .     b) ? . Zu jedem Element $ x$ einer Gruppe gibt es mindestens ein inverses Element $ x^{-1}$.
? .     c) ? . Zu jedem Element $ x$ einer Gruppe gibt es höchstens ein inverses Element $ x^{-1}$.
? .     d) ? . $ ({\mathbb{Z}},+)$ ist eine Gruppe.
? .     e) ? . $ ({\mathbb{Z}},\cdot)$ ist eine Gruppe.
? .     f) ? . $ ({\mathbb{N}},\max)$ ist eine Gruppe.
? .     g) ? . Die Verknüpfungstafel $ \displaystyle{
\begin{array}{c\vert ccc}
\ast & a & b & c\\
\hline
a & a & b & c \\
b & b & a & c \\
c & c & b & a \\
\end{array}}$ definiert eine Gruppenstruktur auf $ M:=\{a,b,c\}$ mit $ \vert M\vert=3$.
? .     h) ? . Die Verknüpfungstafel $ \displaystyle{
\begin{array}{c\vert cccc}
\ast & a & b & c & d\\
\hline
a & a...
...\
b & b & a & d & c\\
c & c & d & a & b\\
d & d & c & b & a\\
\end{array}}
$ definiert eine Gruppenstruktur auf $ M:=\{a,b,c,d\}$ mit $ \vert M\vert=4$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


3. Untergruppen

Welche der folgenden Mengen $ M$ sind Untergruppen von $ ({\mathbb{R}}\setminus\{0\},\cdot)$?

. W . F
? .     a) ? . $ {\mathbb{Q}}$
? .     b) ? . $ \{1\}$
? .     c) ? . $ \{\frac{1}{2},1,2\}$
? .     d) ? . $ {\mathbb{Z}}\backslash\{0\}$,
? .     e) ? . $ {\mathbb{Q}}\backslash\{0\}$,
? .     f) ? . $ \bigl\{x\in {\mathbb{R}}\setminus\{0\} \,\big\vert\, x\geq 0\bigr\}\,.$
? .     g) ? . $ \bigl\{x+\frac{1}{x}\,\big\vert\, x\in {\mathbb{R}},\ x\neq 0\bigr\}$,
? .     h) ? . $ \bigl\{a+\sqrt{2}b\,\big\vert\, a,b\in {\mathbb{Q}},\ (a,b)\neq(0,0)\bigr\}$,
[ Bemerkungen zur Lösung]


4. Körper

Es sei $ (K,+,\cdot)$ ein Körper. Welche Aussagen sind richtig?

. W . F
? .     a) ? . $ (K,+)$ ist eine Abelsche Gruppe.
? .     b) ? . $ (K,\cdot)$ ist eine Abelsche Gruppe.
? .     c) ? . Sind $ x,y\in K$ mit $ x\cdot y=0$, so ist $ x=0$ und $ y=0$.
? .     d) ? . Sind $ x\in K$ und $ 0\neq y\in K$ mit $ x\cdot y=0$, so ist $ x=0$.
? .     e) ? . $ x^2=0$ hat genau eine Lösung in $ K$.
? .     f) ? . $ x^2=1$ hat höchstens zwei Lösungen in $ K$.
? .     g) ? . $ x^2=1$ hat zwei verschiedene Lösungen in $ K$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


5. Komplexe Zahlen

Wir benutzen hier die übliche Schreibweise der komplexen Zahlen, also $ x+iy$ anstelle von $ (x,y)$. Welche Aussagen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . $ i$ ist die einzige komplexe Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist.
? .     b) ? . $ 1$ ist die einzige komplexe Zahl, die zu sich selbst (multiplikativ) invers ist.
? .     c) ? . Das multiplikative Inverse einer Zahl aus $ {\mathbb{C}}\setminus {\mathbb{R}}$ ist nicht reell.
? .     d) ? . Das Produkt zweier Zahlen aus $ {\mathbb{C}}\setminus {\mathbb{R}}$ ist in $ {\mathbb{C}}\setminus {\mathbb{R}}$.
? .     e) ? . Multiplikation mit $ i$ entspricht einer Drehung der Zahlenebene um den Ursprung um $ 90$ Grad.

[ Bemerkungen zur Lösung]





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