Fragebogen II (leichte Version)

Einführung in die Mathematik I


Überlegen Sie jeweils, ob die gegebene Aussage richtig oder falsch ist. Sie müssen also entweder ein Argument für die Richtigkeit finden, oder sich ein konkretes Beispiel überlegen, welches die Aussage widerlegt. Wenn Sie unsicher sind, probieren Sie einfach mal, ein solches Gegenbeispiel zu finden.


1. Abzählbarkeit

Welche der folgenden Mengen sind abzählbar?

. W . F
? .     a) ? . Die Menge der ganzen Zahlen.
? .     b) ? . Die Menge der rationalen Zahlen.
? .     c) ? . Das Intervall $ [0,1]$.
? .     d) ? . Die Menge $ {\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}}$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


2. Gruppen

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . Jede Gruppe hat mindestens ein Element.
? .     b) ? . Zu jedem Element $ x$ einer Gruppe gibt es mindestens ein inverses Element $ x^{-1}$.
? .     c) ? . Zu jedem Element $ x$ einer Gruppe gibt es höchstens ein inverses Element $ x^{-1}$.
? .     d) ? . $ ({\mathbb{Z}},+)$ ist eine Gruppe.
? .     e) ? . $ ({\mathbb{Z}},\cdot)$ ist eine Gruppe.

[ Bemerkungen zur Lösung]


3. Untergruppen

Welche der folgenden Mengen $ M$ sind Untergruppen von $ ({\mathbb{R}},+)$?

. W . F
? .     a) ? . $ {\mathbb{Q}}\backslash\{0\}\,.$
? .     b) ? . $ {\mathbb{Q}}\,.$
? .     c) ? . $ \{0\}\,.$
? .     d) ? . $ \{1\}\,.$
? .     e) ? . $ \{0,1\}\,.$
? .     f) ? . $ \{-1,1\}\,.$
? .     g) ? . $ \bigl\{x\in {\mathbb{R}}\,\big\vert\, x\geq 0\bigr\}\,.$
? .     h) ? . $ \bigl\{n\in {\mathbb{Z}}\,\big\vert\, n \ {\rm gerade \ Zahl} \bigr\}\,.$
[ Bemerkungen zur Lösung]


4. Körper

Es sei $ (K,+,\cdot)$ ein Körper. Welche Aussagen sind richtig?

. W . F
? .     a) ? . $ K$ hat mindestens zwei Elemente.
? .     b) ? . $ (K,+)$ ist eine Abelsche Gruppe.
? .     c) ? . $ (K,\cdot)$ ist eine Abelsche Gruppe.
? .     d) ? . Sind $ x,y\in K$ mit $ x\cdot y=0$, so ist $ x=0$ und $ y=0$.
? .     e) ? . Sind $ x\in K$ und $ 0\neq y\in K$ mit $ x\cdot y=0$, so ist $ x=0$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


5. Komplexe Zahlen

Wir benutzen hier die übliche Schreibweise der komplexen Zahlen, also $ x+iy$ anstelle von $ (x,y)$. Welche Aussagen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . $ {\mathbb{C}}$ ist vollständiger, angeordneter Körper.
? .     b) ? . $ \forall\ z\in {\mathbb{C}}:\ \vert z\vert\in {\mathbb{R}}$.
? .     c) ? . Es gibt unendlich viele komplexe Zahlen $ z$ mit $ \vert z\vert=1$.
? .     d) ? . $ \forall \ x,y,x',y'\in {\mathbb{R}}: \ (x+iy)(x'+iy')=xx'-yy'$.
? .     e) ? . $ \forall \ x,y,x',y'\in {\mathbb{R}}: \ (x+iy)(x'+iy')=xx'+yy'+i(xy'+x'y)$.
? .     f) ? . $ \forall \ x,y\in {\mathbb{R}}: \ (x+iy)^2=x^2-y^2$.
? .     g) ? . Das Produkt zweier nicht reeller komplexer Zahlen ist nicht reell.
? .     h) ? . Jede Cauchyfolge in $ {\mathbb{C}}$ konvergiert.

[ Bemerkungen zur Lösung]





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