Fragebogen III

Einführung in die Mathematik I


Überlegen Sie jeweils, ob die gegebene Aussage richtig oder falsch ist. Sie müssen also entweder ein Argument für die Richtigkeit finden, oder sich ein konkretes Beispiel überlegen, welches die Aussage widerlegt. Wenn Sie unsicher sind, probieren Sie einfach mal, ein solches Gegenbeispiel zu finden.


1. Folgen (1)

Eine Folge reeller Zahlen $ \left(x_n\right)_{n\in {\mathbb{N}}}$ konvergiert genau dann gegen $ a\in {\mathbb{R}}$, wenn gilt:

. W . F
? .     a) ? . $ \exists \:\varepsilon >0 \;\;\exists \:N\in {\mathbb{N}}\;\;\,\forall\: n\geq
N:\;\; \vert x_n-a\vert<\varepsilon \,.$
? .     b) ? . $ \forall \:\varepsilon >0 \;\;\exists \:N\in {\mathbb{N}}\;\;\,\forall\: n\geq
N:\;\; \vert x_n-a\vert<\varepsilon \,.$
? .     c) ? . $ \exists \:\varepsilon >0 \;\;\forall \:N\in {\mathbb{N}}\;\;\,\exists\: n\geq
N:\;\; \vert x_n-a\vert>\varepsilon \,.$
? .     d) ? . $ \forall \:\varepsilon >0 \;\;\exists \:N\in {\mathbb{N}}\;\;\,\forall\: n,m\geq
N:\;\; \vert x_n-x_m\vert<\varepsilon \,.$
? .     e) ? . In jeder $ \varepsilon$-Umgebung von $ a$ liegen unendlich viele Folgenglieder $ x_n$.
? .     f) ? . Außerhalb jeder $ \varepsilon$-Umgebung von $ a$ liegen nur endlich viele Folgenglieder $ x_n$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


2. Folgen (2)

Durch Umordnen der Folgenglieder ändert sich unter Umständen der Grenzwert

. W . F
? .     a) ? . der konvergenten Folge $ \left(x_n\right)_{n\in {\mathbb{N}}}$.
? .     b) ? . der konvergenten Reihe $ \sum_{k=0}^{\infty} x_k$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


3. Folgen (3)

Sei $ \left(x_n\right)_{n\in {\mathbb{N}}}$ eine Folge reeller Zahlen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr:

. W . F
? .     a) ? . Die Folge konvergiert genau dann, wenn sie monoton und beschränkt ist.
? .     b) ? . Die Menge der Folgenglieder, $ \{x_n\mid n\in{\mathbb{N}}\}$, hat genau dann ein Supremum in $ {\mathbb{R}}$ und ein Infimum in $ {\mathbb{R}}$, wenn die Folge beschränkt ist.
? .     c) ? . Die Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
? .     d) ? . Die Menge $ \{x_n\mid n\in{\mathbb{N}}\}$ besitzt ein Maximum, falls die Folge beschränkt ist.
? .     e) ? . Die Folge konvergiert, falls die Folge der Beträge konvergiert.
? .     f) ? . Die Folge konvergiert, falls $ \lim_{n\rightarrow \infty}
\vert x_n-x_{n-1}\vert=0$.
? .     g) ? . Wenn die Folge konvergiert, hat sie genau einen Häufungspunkt und ist beschränkt.
? .     h) ? . Wenn die Folge beschränkt ist, so besitzt sie eine konvergente Teilfolge.

[ Bemerkungen zur Lösung]


4. Reihen

Sei $ \left(x_n\right)_{n\in {\mathbb{N}}}$ eine Folge positiver reeller Zahlen. Die Reihe $ \sum\limits_{k=0}^{\infty} x_k$ konvergiert, falls

. W . F
? .     a) ? . Die Folge $ \left(x_n\right)_{n\in {\mathbb{N}}}$ monoton fallend ist.
? .     b) ? . Die Folge $ \left(x_n\right)_{n\in {\mathbb{N}}}$ eine Nullfolge ist.
? .     c) ? . Die Folge $ \left(n^2x_n\right)_{n\in {\mathbb{N}}} $ eine Nullfolge ist.
? .     d) ? . Die Folge $ \left(\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)_{n\in {\mathbb{N}}} $ gegen $ c<1$ konvergiert.
? .     e) ? . $ \forall\; n\in {\mathbb{N}}:\;\, \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}} <1$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


5. Beispiele (Folgen und Reihen)

Welche der nachstehenden Folgen, bzw. Reihen sind konvergent?

. W . F
? .     a) ? . Die Folge $ \left(\dfrac{3}{n}\right)_{n\in {\mathbb{N}}}\,.$
? .     b) ? . Die Folge $ \left(\dfrac{(-1)^n}{n}\right)_{n\in {\mathbb{N}}}\,.$
? .     c) ? . Die Folge $ \left((-1)^n\right)_{n\in {\mathbb{N}}}\,.$
? .     d) ? . Die Folge $ \left(\min \{1,n^2\!-3n\}\right)_{n\in {\mathbb{N}}}\,.$
? .     e) ? . Die Reihe $ \sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^{k}}{k+4}\,.$
? .     f) ? . Die Reihe $ \sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{5k+1}{2k^2+3}\,.$
? .     g) ? . Die komplexe Reihe $ \sum\limits_{k=1}^\infty \sqrt{i}^k$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


6. Vektorraum der reellen Folgen

Welche der folgenden Teilmengen definieren Untervektorräume des $ {\mathbb{R}}$-Vektorraums aller reellen Folgen $ {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$:

. W . F
? .     a) ? . $ \left\{ (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}\:\big\vert\: \exists \; c\in {\mathbb{R}}\
\forall\; n\in {\mathbb{N}}: \ x_n=c \right\}$.
? .     b) ? . $ \left\{ (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}\:\big\vert\:
\forall\; n\in {\mathbb{N}}: \ x_n=1 \right\}$.
? .     c) ? . $ \left\{ (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}\:\big\vert\: (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}
\text{ monoton wachsend}\, \right\}$.
? .     d) ? . $ \left\{ (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}\:\big\vert\: (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}
\text{ monoton wachsend oder monoton fallend}\, \right\}$.
? .     e) ? . $ \left\{ (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}\:\big\vert\: (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}
\text{ konvergent}\, \right\}$.
? .     f) ? . $ \left\{ (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}\:\big\vert\: (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}
\text{ divergent}\, \right\}$.
? .     g) ? . $ \left\{ (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}\:\big\vert\: \lim_{n\to \infty}
x_n = 0 \right\}$.
? .     h) ? . $ \left\{ (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}\:\big\vert\: \lim_{n\to \infty}
x_n = 1 \right\}$.

[ Bemerkungen zur Lösung]





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