Fragebogen IV

Einführung in die Mathematik I


Überlegen Sie jeweils, ob die gegebene Aussage richtig oder falsch ist. Sie müssen also entweder ein Argument für die Richtigkeit finden, oder sich ein konkretes Beispiel überlegen, welches die Aussage widerlegt. Wenn Sie unsicher sind, probieren Sie einfach mal, ein solches Gegenbeispiel zu finden.


1. Untervektorräume

Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des $ {\mathbb{R}}$-Vektorraums $ {\mathbb{R}}^3$?

. W . F
? .     a) ? . $ {\mathbb{Q}}^3\,.$
? .     b) ? . $ {\mathbb{Z}}^3\,.$
? .     c) ? . $ \{(0,0,0)\}$.
? .     d) ? . $ \{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x = y+z \}.$
? .     e) ? . $ \{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid 0 = y+2z \}.$
? .     f) ? . $ \{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x = yz \}.$
? .     g) ? . $ \{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid 0 = yz \}.$
? .     h) ? . $ \{(s,t,s)\vert s,t\in{\mathbb{R}}, s=t \textrm{ oder } s=-t\}$

[ Bemerkungen zur Lösung]


2. Untervektorräume

Welche der folgenden Teilmengen $ M$ sind Untervektorräume des $ {\mathbb{R}}$-Vektorraums $ {\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}$ (mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation)?

. W . F
? .     a) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f(0)=0\}$.
? .     b) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f(1)=1\}$.
? .     c) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f(0)f(1)=0\}$.
? .     d) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f(0)+f(1)=0\}$.
? .     e) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f(0)^2+f(1)^2=0\}$.
? .     f) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f\textrm{ injektiv}\}$.
? .     g) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f\textrm{ hat mindestens eine Nullstelle}\}$.
? .     h) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f(x)=0\textrm{ bis auf endlich viele }x\in{\mathbb{R}}\}$.
[ Bemerkungen zur Lösung]


3. Lineare Abbildungen

Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

. W . F
? .     a) ? . $ \varphi_1:{\mathrm{Mat}}(m\times n,{\mathbb{R}})\to{\mathrm{Mat}}(m\times p,{\mathbb{R}})$, $ A\mapsto A\cdot B$ für eine beliebige, feste Matrix $ B\in{\mathrm{Mat}}(n\times p,{\mathbb{R}})$.
? .     b) ? . $ \varphi_2:{\mathrm{Mat}}(m,{\mathbb{R}})\to {\mathrm{Mat}}(m,{\mathbb{R}})$, $ A\mapsto A\cdot B-B\cdot A$ für eine beliebige, feste Matrix $ B\in{\mathrm{Mat}}(m,{\mathbb{R}})$.
? .     c) ? . $ \varphi_3:{\mathbb{R}}^2\rightarrow{\mathbb{R}}$, $ (x,y)\mapsto 2x+3y+4$.
? .     d) ? . $ \varphi_4:{\mathbb{R}}^2\rightarrow{\mathbb{R}}$, $ (x,y)\mapsto x+y$.
? .     e) ? . $ \varphi_5:{\mathbb{R}}^2\rightarrow{\mathbb{R}}$, $ (x,y)\mapsto x^2+y^2$.
[ Bemerkungen zur Lösung]


4. Matrizen

Welche der folgenden Aussagen über Matrizen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . Die Summe invertierbarer Matrizen ist invertierbar.
? .     b) ? . Das Produkt invertierbarer Matrizen ist invertierbar.
? .     c) ? . Die Einheitsmatrix ist invertierbar.
? .     d) ? . Sind $ A,B \in {\mathrm{Mat}}(n,{\mathbb{R}})$ Matrizen, so gilt $ A\cdot B=B\cdot A$.
? .     e) ? . Sind $ A,B \in {\mathrm{Mat}}(n,{\mathbb{R}})$ Matrizen mit $ A=A^T$, $ B=B^T$, so gilt $ A\cdot B=B\cdot A$.
? .     f) ? . Sind $ A,B \in {\mathrm{Mat}}(n,{\mathbb{R}})$ Matrizen mit $ A=A^T$, $ B=B^T$, so gilt $ A\cdot B=B^T\cdot A^T$.
? .     g) ? . Existiert das Produkt zweier quadratischer Matrizen, so ist das Produkt quadratisch.
? .     h) ? . Sind $ A,B$ quadratisch, so existiert das Produkt $ A\cdot B$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


5. Lineare Unabhängigkeit

Sei $ V$ ein $ K$-Vektorraum und $ v_1,\dots,v_n\in V$, $ n\geq 5$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . $ v_1,\dots,v_n$ linear abhängig $ \iff \ \exists\; \lambda\in K^n: \
\sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i =0\,.$
? .     b) ? . $ v_1,\dots,v_n$ sind genau dann linear abhängig, wenn jedes Element aus $ V$ eine Linearkombination von $ v_1,\dots,v_n$ ist.
? .     c) ? . Falls $ v_1,v_2,v_3$ linear unabhängig sind, so auch $ v_1,v_2$.
? .     d) ? . Falls $ v_1,v_2$ linear unabhängig sind, so können $ v_1,v_2,v_3$ nicht linear unabhängig sein.
? .     e) ? . Falls $ v_1,v_2$ linear abhängig sind, so können $ v_1,v_2,v_3$ nicht linear unabhängig sein.
? .     f) ? . Falls $ v_1=0$, so können $ v_1,v_2$ nicht linear unabhängig sein.
? .     g) ? . Falls $ v_1,\dots, v_{n-1}$ ein Erzeugendensystem für $ V$ ist, so können $ v_1,\dots,v_n$ nicht linear unabhängig sein.

[ Bemerkungen zur Lösung]





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