Fragebogen IV (leichte Version)

Einführung in die Mathematik I


Überlegen Sie jeweils, ob die gegebene Aussage richtig oder falsch ist. Sie müssen also entweder ein Argument für die Richtigkeit finden, oder sich ein konkretes Beispiel überlegen, welches die Aussage widerlegt. Wenn Sie unsicher sind, probieren Sie einfach mal, ein solches Gegenbeispiel zu finden.


1. Untervektorräume

Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des $ {\mathbb{R}}$-Vektorraums $ {\mathbb{R}}^2$?

. W . F
? .     a) ? . $ {\mathbb{Q}}^2\,.$
? .     b) ? . $ {\mathbb{Z}}^2\,.$
? .     c) ? . $ \{(0,0)\}$.
? .     d) ? . $ \{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x+y=1 \}.$
? .     e) ? . $ \{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x+2y =0 \}.$
? .     f) ? . $ \{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid xy = 0 \}.$

[ Bemerkungen zur Lösung]


2. Untervektorräume (2)

Welche der folgenden Teilmengen $ M$ sind Untervektorräume des $ {\mathbb{R}}$-Vektorraums $ {\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}$ aller Abbildungen von $ {\mathbb{R}}$ nach $ {\mathbb{R}}$ (mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation)?

. W . F
? .     a) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f(0)=0\}$.
? .     b) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f(1)=1\}$.
? .     c) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f(0)=f(1)\}$.
? .     d) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f\textrm{ injektiv}\}$.
? .     e) ? . $ \{f\in{\mathbb{R}}^{{\mathbb{R}}}\mid f\textrm{ hat mindestens eine Nullstelle}\}$.
[ Bemerkungen zur Lösung]


3. Lineare Abbildungen

Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

. W . F
? .     a) ? . $ \varphi_1:{\mathbb{R}}^2\rightarrow{\mathbb{R}}$, $ (x,y)\mapsto 2x+3y+4$.
? .     b) ? . $ \varphi_2:{\mathbb{R}}^2\rightarrow{\mathbb{R}}$, $ (x,y)\mapsto x+y$.
? .     c) ? . $ \varphi_3:{\mathbb{R}}^2\rightarrow{\mathbb{R}}$, $ (x,y)\mapsto x^2+y^2$.
? .     d) ? . $ \varphi_4:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, $ A\mapsto Ax$ für ein festes $ A\in{\mathrm{Mat}}(m\times n,{\mathbb{R}})$.
? .     e) ? . $ \varphi_5:{\mathrm{Mat}}(m\times n,{\mathbb{R}})\to {\mathbb{R}}^m$, $ A\mapsto Ax$ für ein festes $ x\in{\mathbb{R}}^n$.
[ Bemerkungen zur Lösung]


4. Matrizen

Welche der folgenden Aussagen über Matrizen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . Quadratische Matrizen beschreiben bijektive Abbildungen.
? .     b) ? . Existiert das Produkt zweier quadratischer Matrizen, so ist das Produkt eine quadratische Matrix.
? .     c) ? . Sind $ A,B$ quadratisch, so existiert das Produkt $ A\cdot B$.
? .     d) ? . Sind $ A,B \in {\mathrm{Mat}}(n,{\mathbb{R}})$ Matrizen, so gilt $ A\cdot B=B\cdot A$.

[ Bemerkungen zur Lösung]


5. Lineare Unabhängigkeit

Sei $ V$ ein $ K$-Vektorraum und $ v_1,\dots,v_n\in V$, $ n\geq 5$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . $ v_1,\dots,v_n$ linear abhängig $ \iff \ \exists\; \lambda\in K^n: \
\sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i =0\,.$
? .     b) ? . $ v_1,\dots,v_n$ sind genau dann linear abhängig, wenn jedes Element aus $ V$ eine Linearkombination von $ v_1,\dots,v_n$ ist.
? .     c) ? . Falls $ v_1,v_2,v_3$ linear unabhängig sind, so auch $ v_1,v_2$.
? .     d) ? . Falls $ v_1,v_2$ linear unabhängig sind, so können $ v_1,v_2,v_3$ nicht linear unabhängig sein.
? .     e) ? . Falls $ v_1,v_2$ linear abhängig sind, so können $ v_1,v_2,v_3$ nicht linear unabhängig sein.
? .     f) ? . Falls $ v_1=0$, so können $ v_1,v_2$ nicht linear unabhängig sein.
? .     g) ? . Falls $ v_1,\dots, v_{n-1}$ ein Erzeugendensystem für $ V$ ist, so können $ v_1,\dots,v_n$ nicht linear unabhängig sein.
? .     h) ? . $ V$ besitzt eine Basis.
? .     i) ? . Jede Basis von $ V$ ist eine Familie linear unabhängiger Vektoren.
? .     j) ? . Jede Basis von $ V$ ist ein Erzeugendensystem für $ V$.

[ Bemerkungen zur Lösung]





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