Fragebogen V

Einführung in die Mathematik I


Überlegen Sie jeweils, ob die gegebene Aussage richtig oder falsch ist. Sie müssen also entweder ein Argument für die Richtigkeit finden, oder sich ein konkretes Beispiel überlegen, welches die Aussage widerlegt. Wenn Sie unsicher sind, probieren Sie einfach mal, ein solches Gegenbeispiel zu finden.


1. Stetigkeit

Die Funktion $ f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}$ ist stetig an der Stelle $ x_0$, falls gilt:

. W . F
? .     a) ? . $ \exists \:\varepsilon >0 \;\;\forall \:\delta >0 \;\;\,\forall y\in
{\mathbb{R...
...eft( \vert y-x\vert<\delta \Rightarrow \vert f(y)-f(x)\vert<\varepsilon \right)$
? .     b) ? . $ \forall \:\delta >0 \;\;\exists \:\rho >0 \;\;\,\forall y\in {\mathbb{R}}
:\left( \vert y-x\vert<\rho \Rightarrow \vert f(y)-f(x)\vert<\delta \right) $
? .     c) ? . Für jede gegen $ x$ konvergente Folge $ (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}$ konvergiert $ \bigl(f(x_n)\bigr)_{n\in {\mathbb{N}}} $ gegen $ f(x)$.
? .     d) ? . Jede Folge $ (x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}$ mit $ f(x_n)\rightarrow a\neq f(x)$ konvergiert nicht gegen $ x$.
? .     e) ? . Zu jedem vorgegebenen Intervall $ I$ um $ f(x)$ kann man stets ein Intervall um $ x$ finden, so dass die zugehörigen Funktionswerte alle in $ I$ liegen.

[ Bemerkungen zur Lösung]


2. Folgen von Funktionen

Sei $ D\subset {\mathbb{R}}$, und sei $ \left(f_n:D\to {\mathbb{R}}\right)_{n=1}^\infty$ eine Folge von Funktionen, die punktweise gegen $ f:D\to {\mathbb{R}}$ konvergiert. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . Falls alle $ f_n$ stetig sind, so ist auch $ f$ stetig.
? .     b) ? . Falls alle $ f_n$ nicht stetig sind, so ist auch $ f$ nicht stetig.
? .     c) ? . Falls alle $ f_n$ stetig sind und $ \sup \{f_n(x)-f(x)\:\vert\:x\in
D\}\xrightarrow{n\to \infty} 0$, so ist $ f$ stetig.
? .     d) ? . Falls alle $ f_n$ differenzierbar sind, so ist auch $ f$ differenzierbar.
? .     e) ? . Falls alle $ f_n$ und $ f$ differenzierbar sind, so konvergiert $ f_n'$ punktweise gegen $ f'$.
[ Bemerkungen zur Lösung]


3. Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

. W . F
? .     a) ? . Jede stetige Funktion $ f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}$ ist differenzierbar.
? .     b) ? . Falls eine Funktion $ f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}$ differenzierbar ist, so ist sie auch stetig.
? .     c) ? . Falls $ f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}$ differenzierbar ist, so ist die Ableitung $ f':{\mathbb{R}}\to
{\mathbb{R}}$ eine stetige Funktion.
? .     d) ? . Die Umkehrabbildung jeder bijektiven stetigen Funktion $ f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}$ ist stetig.
? .     e) ? . Die Umkehrabbildung jeder bijektiven differenzierbaren Funktion $ f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}$ ist differenzierbar.
? .     f) ? . Eine differenzierbare Funktion $ f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}$ ist bijektiv, falls $ f'(x)\neq 0$ für alle $ x\in {\mathbb{R}}$.
? .     g) ? . Eine differenzierbare Funktion $ f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}$ ist injektiv, falls $ f'(x)\neq 0$ für alle $ x\in {\mathbb{R}}$.
? .     h) ? . Falls es ein $ x_0\in {\mathbb{R}}$ gibt mit $ f'(x_0)=0$, so kann eine differenzierbare Funktion $ f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}$ niemals injektiv sein.
? .     i) ? . Falls $ f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}$ differenzierbar ist und $ f'(0)>0$, so gibt es $ a<0<b$, so dass $ f$ auf dem Intervall $ (a,b)$ monoton wachsend ist.
[ Bemerkungen zur Lösung]





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