Eine Hyperebene in einem K-Vektorraum V ist die Menge der Lösungen v∈V einer linearen Gleichung α(v)=c wobei α:V→K eine nicht konstante lineare Funktion, und c∈K eine Konstante ist. Ein Arrangement von Hyperebenen ist eine endliche Menge solcher Hyperebenen. Ist V ein 2-dimensionaler reeler Vektorraum, so ist dies einfach eine Ansammlung von Geraden in der Ebene wie z.B. folgendes Beispiel (zum Vergrößern anklicken) aus einem Artikel von Branko Grünbaum zeigt:
Hyperebenenarrangements haben mit vielen Bereichen der Mathematik zu tun, wie z.B. Graphentheorie, Topologie, Darstellungstheorie (Spiegelungsgruppen), Kommutativer Algebra, und Algebraischer Geometrie. Ziel des Proseminars ist einen kleinen Einblick in diese reichhaltige Theorie zu bekommen und beispielhaft einige Beziehungen zwischen Geometrie, Kombinatorik und Algebra zu verstehen.
Als kurze Einführung in das Thema empfehle ich den Vortrag It All Depends on How You Slice It von Paul Renteln.
Vorträge
Jeder Teilnehmer bekommt bei der Vorbesprechung einen der folgenden Vorträge zugeteilt. Der Vortrag soll möglichst frei und an der Tafel gehalten werden. Notitzen sind natürlich erlaubt, aber das reine Abschreiben der Vorlage an die Tafel ist nicht zulässig. Folien bzw. Videoprojektor dürfen nur in Ausnahmefällen zum Einsatz kommen, z.B. um eine den Vortrag ünterstützende Grafik oder Übersicht zu zeigen. Powerpoint-Präsentationen und ähnliches sind ausgeschlossen.
| Vortrag | Termin(e) | Vortragender | Vortragstitel |
|---|---|---|---|
| 1 | 10.11. | Johannes Schmitt | Grundbegriffe, Lineare Algebra |
| 2 | 17.11. | Kevin Kühn | Schnittverband, Einschränkung und Lokalisierung |
| 3 | 24.11 | Dominik Bendle | Kammern, Projektivisierung und Kegel |
| 4 | 1.12. | Anne Carolin Blumer | Möbius Funktion |
| 5 | 8.12. | Daniel Schäfer | Charakteristisches Polynom, Entfernen und Einschränken |
| 6 | 15.12. | Maximilian Jung | Beispiele Charakteristischer Polynome, endliche Körper-Methode |
| 7 | 22.12. | Clara Petroll | Graphische Arrangements |
| 8 | 12.1. | Violetta Schäfer | Zaslavskys Abzählsatz |
| 9 | Überauflösbare Arrangements | ||
| 10 | Abstand von Kammern und Abstandsfunktionen | ||
| 11 | Moduln und A-Derivationen | ||
| 12 | Freie Arrangements | ||
| 13 | Exponenten von Arrangements | ||
| 14 | Hinzufügen und Entfernen, Faktorisierungssatz |
Vorbereitung
Jedem Vortrag ist eine Inhaltsskizze mit Literaturstellen zugeordnet. Die Inhaltsskizze ist stichpunktartig und identifiziert die unterschiedliche Notation der beiden Hauptreferenzen. Vom Vortragenden soll diese Skizze in geeigneter Reihenfolge schriftlich ausgearbeitet und mit Beispielen illustriert präsentiert werden. Inbesondere gilt es die oft recht knapp gehaltenen Beweise in den Referenzen mit Details und Leben zu füllen.
Bevor Sie mit Ihrer Vorbereitung beginnen, empfehle ich die Lektüre des Artikels Wie halte ich einen Seminarvortrag? von Manfred Lehn.
Ich empfehle Ihnen, kurz vor Ihrem Vortragstermin, einen Probevortrag vor Mitstudenten zu halten und dabei auch das Beantorten von Zuhörerfragen zu üben.
Betreuung
Etwa 2 Wochen vor dem jeweiligen Vortragstermin, möchte ich jeden Teilnehmer zu einer persönlichen Vorbesprechung treffen. Zu diesem Zeitpukt sollten Sie sich in das Thema eingearbeitet haben und einen ersten (möglicherweise noch lückenhaften) Entwurft Ihrer Ausarbeitung der vorgegebenen Literaturstellen sowie ein durchdachtes Grundkonzept für Ihren Vortrag vorlegen können. Wir gehen dann zusammen Ihren Vortrag durch und besprechen Ihre Fragen und mögliche Änderungen an Ihrem Vortragskonzept.
Bitte vereinbaren Sie rechtzeitig einen Termin für dieses Treffen mit mir per Email. Etwa 1 Woche später soll Ihr Vortrag dann fertig sein und wir treffen uns zu einer zweiten Besprechung.
Natürlich können Sie mich jederzeit kontaktieren, wenn Sie Fragen haben oder Hilfe brauchen.
Scheinvergabe
Voraussetzung für den Proseminarschein sind ein guter Vortrag, eine sinnvolle schriftliche Ausarbeitung, sowie regelmäßige Anwesenheit.
Literatur
- P. Orlik, H. Terao, Arrangements of Hyperplanes, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 300, Springer-Verlag, 1992.
- R.P. Stanley, An introduction to hyperplane arrangements, in E. Miller, V. Reiner, and B. Sturmfels, eds., Geometric combinatorics, IAS/Park City Math. Ser. 13, Amer. Math. Soc., 2007, 389-496, Preprint.