Musik:
Arnold Schoenberg: Streichquartett op. 10 zweiter Satz jeweils kurze
Ausschnitte als Uebergang bzw. atmosphaerischer Zusammenhang.
Mit Musik einleiten

Zitator:
Mathematik, das ist Logik - klar, analytisch genau festgelegt, nichts ist
zweifelhaft, alles unwandelbar. Im Wesentlichen tut sich da nichts Neues.
Eins und eins waren schon bei den alten Griechen zwei und ... sind heute
noch immer zwei. Es gibt Regeln für Prozent- oder für Bruchrechnung, die
sind zu befolgen, und dann kommt auch das Richtige raus - quod erat
demonstrandum - was zu beweisen war.

Ich-Erzähler:
Kein Wunder, dass das langweilt, kein Wunder, dass den meisten meiner
Freunde sich schon bei dem blossen Wort "Mathe" die Nackenhaare
sträuben. Auch die anderen, die mit mir Mathe studiert haben und jetzt
Lehrer sind, glauben fest, dass ihr Fach über jeden Zweifel erhaben sei.
Auch sie werden einfach die alten Regeln mehr schlecht als recht erklären
und auch deren Schüler werden sich fragen, warum man so etwas
Trockenes lernen muss, und denken, Mathe: das ist einfach nur
uninteressant, starr, unbeweglich und tot.

Sachsprecher:
Seit der griechischen Antike gilt die Mathema als Vorbild aller
Wissenschaften. In Platons Philosophenschule hatte nur Zutritt, wer sich auf
Mathematik verstand. Und noch Imanuel Kant galten Geometrie und
Arithmetik als die Beispiele für absolut gewisse Erkenntnisse.
Doch zu Anfang unseres Jahrhunderts geriet das Bild von der Mathematik ins
Wanken. Der Mathematiker, Philosoph und Querdenker Bertrand Russell
löste mit einem Widerspruch, der sogenannten "Russellschen Antinomie",
die Grundlagenkrise der Mathematik aus - eine Krise, die den Boden der
abendländischen Wissenschaft erschütterte.
 

Ich-Erzähler:
Dass die Mathematik eine exakte Wissenschaft ist - unanfechtbar - , war für
viele, als ich mich an der Uni einschrieb, der Grund, warum sie sich für
Mathe entschieden hatten. "Bei den Geisteswissenschaftlern - in Literatur
oder Philosophie - da kann doch jeder sagen, was er will. Mathe ist anders,
richtig oder falsch, bewiesen oder nicht bewiesen - ein drittes gibt es nicht." -
So war damals die gängige Meinung in den Vorlesungssälen. Und auch ich
habe mir das als einen ganz guten Ausgleich neben meinem ersten Fach -
Philosophie - vorgestellt.

Was ich vorher schon gehört hatte (und was mich faszinierte), war, dass
man im ersten Semester bei Null anfängt. Da sollten ganz formal Sachen
gezeigt werden wie, dass eins plus eins zwei sind oder ein mal null null. Wie
so etwas exakt zu beweisen sein sollte, schien mir jedoch an Hexerei zu
grenzen. Und heute weiss ich, dass das tatsächlich nicht wenig an einem
faulen Zauber erinnert.

Sachsprecher:
Ironie der Geschichte war, dass die Grundlagenkrise ausgelöst wurde in
dem Moment, als man sich daran machte, die Mathematik endgültig auf
sicheren Boden zu stellen.

Zurückgezogen und jahrelang von niemandem beachtet, arbeitete in Jena
der Mathematiker Gottlob Frege an einer monumentalen Abhandlung mit dem
Titel: "Grundgesetze der Arithmetik". Darin verfolgte Frege nichts weniger als
die alte These des Logizismus einzulösen. Die Mathematik sollte aus reiner
Logik aufgebaut werden. Das Rechnen mit Zahlen (die Arithmetik) wollte
Frege als einen Zweig der logischen Wissenschaft ausweisen. Und ihm
gelang tatsaechlich, was vor ihm keinem geglückt war: Eine rein logische
Definition der Zahl.

Daran konnte er nun anknüpfen und die gesamte Mathematik auf wenige
logische Grundgesetze zurueckführen. Und obgleich die Formelsprache, die
Frege hierfür eigens entwickelte, so kompliziert war, dass keiner die große
Bedeutung seiner Arbeit erkannte, Frege selbst hatte - wenigstens für kurze
Zeit  - die persönliche Genugtuung, die Mathematik auf sicheren Boden
gestellt zu haben.

Ich-Erzähler:
Dass ein mal null null ist, wurde in meiner ersten Vorlesung tatsächlich
ziemlich bald mathematisch bewiesen. Wenn auch anders als ich mir das
gedacht hatte. Das Prinzip aller Mathe-Vorlesungen dieser Welt scheint das
gleiche zu sein - so auch das meiner ersten: In Höchstgeschwindigkeit
schreibt der Professor zunächst Definitionen an die Tafel und sogenannte
Axiome, Sätze, die als Voraussetzungen gegeben sind. In meiner ersten
Vorlesung waren das die Körperaxiome, wie: Es gibt ein neutrales Element
der Addition, oder anders ausgedrueckt: null plus irgendwas ist wieder dieses
irgendwas.

Aus den Definitionen und Axiomen werden dann im Presto Saetze abgeleitet -
Folgerungen, die sich daraus ergeben. Ganz formal und logisch. Für den
Beweis, dass ein mal null null ist, wendet der Prof an der Tafel einfach die
Axiome über das neutrale Element an, bedient sich noch einiger anderer
Voraussetzungen und in kürzester Zeit ist der Zauber vollbracht.
Das Ganze geht so schnell, dass kaum einer der Studenten etwas kapiert. Die
sind froh, wenn sie mit dem Abschreiben von der Tafel hinterherkommen,
bevor der Professor sie abwischt und erneut bekritzelt.
Weitere Erklärungen, wieso etwa gerade diese Voraussetzungen gemacht
werden oder ausführende Erläuterungen über geschichtliche
Entwicklungen gar, werden von dem Lehrenden als überflüssiges Beiwerk
erachtet. Wozu auch? Schließlich handelt es sich hier um die einzig wahre
Wissenschaft und die steht jenseits von Zeit und Geschichte!

Sachsprecher:
Freges Freude ueber die Vollendung seines Lebenswerks währte nicht
lange.
Noch vor Erscheinen des zweiten Bandes der "Grundgesetze der Arithmetik"
muss er niedergeschlagen feststellen:

Zitator:
Einem Wissenschaftler kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen als
der Verlust der Fundamente seiner Arbeit, wenn diese gerade beendet ist. In
dieser Lage war ich durch einen Brief von Mr. Bertrand Russell versetzt, als
der Druck des Werks fast beendet war.

Sachsprecher:
Russell hatte Frege in einem Brief von dem bahnbrechenden Widerspruch,
den er gefunden hatte, berichtet. Erstmals hatte damit eine renommierter
Wissenschaftler von Freges Arbeiten überhaupt Kenntnis genommen. Denn
erst in einem formalen System, wie dem von Frege, konnte der Russellsche
Widerspruch zu Tage treten. Ein Trost konnte fuer Frege diese Anerkennung
seiner Arbeit aber kaum sein. Denn mit dem Nachweis der Antinomie in
seinem System brach sein Lebenswerk zusammen wie ein Kartenhaus.
 

Ich-Erzähler:
Erklärungen in der Mathematik seien nur etwas fuer zweitklassige Geister,
hat einmal ein Mathematiker gesagt. Menschen, die Mathematik betreiben,
verachten seiner Meinung nach sogar diejenigen, die Mathematik anderen
verständlich machen wollen.

Solche Überheblichkeit hab‘ ich immer verstanden als die unvermeidlichen
Folgeschaeden der unerschütterlichen Wissenschaftlichkeit dieses Fachs.
Um so erstaunter war ich, als ich im fünften Semester "Einführung in die
Mengenlehre" hörte. Ich hatte mich inzwischen an den immer gleichen Gang
der Vorlesungen gewöhnt: Definitionen, Axiome, Saetze und die
dazugehörigen Beweise. Meine Hand war inzwischen ganz gut trainiert, und
manchmal schaffte ich es sogar nicht nur das Tafelbild abzuschreiben,
sondern auch etwas davon zu verstehen.

Doch diese Vorlesungsreihe fing einmal anders an. Der Professor schrieb
eine Menge an die Tafel, und ohne dass er irgendwelche Voraussetzungen
machen musste, zeigte er in einem ersten Schritt, dass diese Menge sich
selbst enthält und dann in einem anderen, dass sie sich nicht selbst enthält.
Ich wollte meinen Augen nicht recht trauen. Das war offensichtlich ein
Widerspruch, die Antinomie, die Russell entdeckt hatte. Das war aber eine
Unmöglichkeit. Denn -  so viel wusste ich von Logik - hat man erst einen
Widerspruch, lässt sich daraus jede beliebige Behauptung beweisen. Die
gesamte Mathematik wuerde damit kippen.

Sachsprecher:
Bertrand Russell selbst war nicht weniger bestürzt von seiner eigenen
Entdeckung als Gottlob Frege. Denn auch Russells Ziel war es gewesen, die
Mathematik rein logisch aufzubauen und damit auf sicheren Boden zu stellen.
Nun aber war - wie er später schrieb -  sein "ungetrübtes Logikerglück zu
Ende". Russell im Rückblick:

Zitator:
Ich stiess nun auf die Mengen, die sich nicht selbst enthalten, dafür aber -
wie ich meinte, und was ja auch einleuchtend genug erscheint - ihrerseits
wiederum eine Menge bilden mussten. Und ich fragte mich nun, ob diese
Menge (also die Menge sämtlicher Mengen, die sich nicht selbst als Element
enthalten) sich selbst als Element enthält oder nicht. Wenn man annimmt,
dass sie sich selbst als Element enthält, muss sie natürlich der Definition
dieser Mengen entsprechen, nach der sie sich nicht selbst als Element
enthalten darf. Und wenn man annimmt, dass sie sich nicht selbst als Element
enthält, entspricht das genau der gegeben Definition, d.h. sie gehört zu den
Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, und muss sich folglich
selbst als Element enthalten. Aus beiden Annahmen folgt also zwingend das
genaue Gegenteil der Annahme; und wie wir uns auch wenden, wir kommen
aus diesem Widerspruch nicht heraus.

Ich-Erzähler:
Bei mir dreht sich immer alles, wenn ich versuche, mir das, was da vorne an
der Tafel stand, vorzustellen. [Langsam:] Alle Mengen, die sich nicht selbst
enthalten - zusammengefasst zu einer Menge: die Russellsche Menge.
Vertrackt, aber mathematisch in Ordnung. Nur der Haken ist: Es gibt nur zwei
Möglichkeiten: Entweder die Russellsche Menge enthaelt sich selbst oder
nicht.

Geht man davon aus, dass sie sich selbst enthält, dann muss für sie gelten,
was  für alle ihre Elemente gilt, d.h. sie darf sich nicht selbst enthalten -
Widerspruch, Sackgasse!

Also andere Richtung: Man probiert, ob sie sich nicht selbst enthält.  Wenn
sie das aber tut, dann hat sie damit genau die Eigenschaft, die ihre Elemente
kennzeichnet und enthält sich also selbst. Und wieder eine Sackgasse!

Sachsprecher:
Russells Antinomie aehnelt dem alten Paradox von Epimenides, dem Kreter,
der sagt: "Ich lüge". Die Frage ist dabei: Hat Epimenides die Wahrheit
gesagt oder nicht.

Wenn er nicht die Wahrheit gesagt hat , heisst das: sein Satz ist falsch, er hat
also nicht gelogen, und damit doch die Wahrheit gesagt. Wenn das aber
stimmt, sein Satz "Ich lüge" wirklich wahr ist, dann hat Epimenides doch
gelogen.

Fieberhaft wurde auf der ganzen Welt nach Auswegen aus Russells Dilemma
gesucht. Der Lösungsansatz, den der frustrierte Frege anbot, (bekannt als
"Freges way out") erwies sich schon bald als Irrweg.

Russell dagegen machte sich mit seinem Lehrer Whitehead an einen breit
angelegten Lösungsversuch. In dem dreibändigen Riesenwerk "Principia
Mathematica" entwickelten sie gemeinsam die sogenannte Typentheorie.

Ich-Erzähler:
Mit einem Geniestreich aus dem Hin und Her der Sackgasse herauskommen:
Wie das gelingen sollte, wusste offenbar keiner im Hörsaal.
Ich glaube, das war das erste und einzige Mal, dass in einer Mathevorlesung
mein Herz vor Aufregung zu pochen anfing. Aber ich muss zugeben, mein
Glück wurde davon keineswegs getrübt. Eher machte sich in mir eine
heitere Genugtuung breit und die Hoffnung, dass es für dieses Raetsel
vielleicht wirklich keine Lösung geben werde.
Leicht verwirrt war ich aber, weil der Professor nun nicht gleich sein formales
Programm runterspulte, sondern statt dessen geschichtliche
Zusammenhänge erläuterte. Und.... man konnte tatsächlich etwas
verstehen. Und nicht nur das, es wurde sogar klar, was Sinn und Zweck der
ein Semester dauernden Vorlesung sein sollte. Nämlich eine Lösung für
die Russellsche Antinomie zu finden. Ob das gelingen wuerde, blieb offen.

Sachsprecher:
Um einen Ausweg aus den Mengen-Dilemma zu finden, teilten Russell und
Whitehead die Objekte der Welt - je nach Abstraktionsgrad - in verschiedene
Stufen ein.

Zur untersten Stufe zählten sie die konkreten, individuellen Dinge - Sachen
zum Anfassen wie Gebäude oder Bücher, aber auch konkrete
mathematische Zahlen. Die zweite Stufe liegt ein Abstraktionsgrad höher.
Das sollten die Mengen sein, die die konkreten Gegenstände enthalten. Also
z.B. die Menge der Häuser, Bücher oder Zahlen. Zur dritten Stufe zählten
Russell und Whitehead die Mengen der zweiten Stufe und so geht es immer
weiter nach oben.

Ihre These war nun: Jede Menge kann nur Objekte niedrigerer Stufe
enthalten, und damit niemals sich selbst. Die Bildung der Menge, die den
Widerspruch verursachte, war auf diese Weise ausgeschlossen.

Ich-Erzähler:
Was ist eigentlich eine Menge? Vier Semester hatte ich Mathe studiert, war
täglich mit Mengen umgegangen und hatte mir diese Frage noch nie so klar
gestellt. Mengen wurden bislang einfach durch eine Eigenschaft bestimmt.
Z.B.  bestimmt die Eigenschaft, Zahl und größer als Null zu sein, die Menge
aller positiven Zahlen. Von Cantor, dem Vater der Mengenlehre, erfuhr ich
nun in der Vorlesung ein kleine Anekdote:

Zitator:
Cantor gegenüber äußerte sich einmal jemand, er stelle sich eine Menge
vor wie einen geschlossenen Sack, der ganz bestimmte Dinge enthalte, die
man aber nicht sehe, und von denen man nichts wisse, außer dass sie
vorhanden und bestimmt seien. Einige Zeit später gab Cantor seine
Vorstellung einer Menge zu erkennen. Er richtete seine kolossale Figur auf,
beschrieb mit erhobenen Armen eine großartige Geste und sagte mit einem
ins Unbestimmte gerichteten Blick: "Eine Menge stelle ich mir vor wie einen
Abgrund"
 
 

Sachsprecher:
Russell und seinem Lehrer gelang es, ihre Theorie der Stufen, die nur
niedrigere Mengen enthalten duerfen, philosophisch plausibel zu machen.
Und der Widerspruch war darin nicht mehr unmittelbar herzuleiten. Und doch
war die Grundlagenkrise längst nicht gelöst.
Wichtige Teile der Mathematik konnten jetzt nur noch bewiesen werden, wenn
eine Reihe weiterer Zusatzannahmen in das System eingeführt wurden.
Diese Zusatzannahmen hätten erneut zu einem Widerspruch führen
koennen. Die Typentheorie wurde damit wieder brüchig. Und Russell selbst
war so ehrlich trotz der ungeheuren Anstrengung, die er inzwischen in den
logischen Aufbau der Mathematik investiert hatte, das Scheitern des
Logizismus einzugestehen.
 
 

Ich-Erzähler:
Von der jeweiligen Definition, was einen Menge sei und was nicht, hing es
also letztlich ab ob die Mathematik an einem Widerspruch zu Grunde ginge
oder nicht. Um so gespannter war ich, wie diese Definition jetzt in der
Vorlesung aussehen wuerde.

Aber......[Pause]  - Nichts. Unser Professor wich offenbar aus - Es gab einfach
keine Definition der Menge. Es gab aber auch keine Erklärung, warum es
keine gab. Sie wurde auch weder vergessen, noch nachgereicht, noch sonst
irgend etwas.

Ich will nicht unken, aber ist das die Wissenschaftlichkeit, die die
Mathematiker zu ihrer Überheblichkeit gegenüber den scheinbar
zweitklassigen Geistern veranlasst? Waere es dann nicht sogar noch
redlicher, eine Menge einen "geschlossener Sack" oder sogar einfach nur
"Abgrund" zu nennen?

Sachsprecher:
Die Lage für das Vorbild aller Wissenschaften war durch Russells
Entdeckung und durch das Scheitern der Typentheorie äußerst
unbefriedigend. Russells Logizismus war gescheitert. Die Grundlagenkrise
der Mathematik alles andere als gelöst. Der Streit -  ein Glaubenskrieg unter
den Grundlagenforschern -  entbrannte nun um so heftiger. Zwei Positionen
standen sich unversöhnlich gegenüber: Der Intuitionismus und der
Formalismus.

Ich-Erzähler:
Formale Definition der Menge hin oder her, vielleicht muss man sogar darauf
verzichten. Schließlich ist die Menge so etwas wie der letzte Begriff der
Mathematik, ihr Begriff von Sein überhaupt. Und an der Frage, was Sein ist,
hat sich schon so mancher Philosoph die Zähne ausgebissen.
Problematisch ist es aber, wenn man auf einem Abgrund ein gewaltiges
Gerüst stellt und behauptet, es stände sicher. Und das ist es, was nun
tatsächlich am dritten Tag der Mengenlehre-Vorlesung geschah. Sie glitt
wieder in gewohnte Bahnen ab. Als sei nichts gewesen, wurde ein
Axiomensystem der Mengenlehre aufgestellt. Als hätte es keinen
Widerspruch gegeben, als hätte man eine klare Definition der eigenen
Grundbegriffe, wurde so weitergemacht wie bisher. Gedanken daran, die
ganzen formalen Ableitungen, die sowieso keiner unmittelbar nachvollziehen
kann, über Bord zu werfen, wurden nicht verschwendet.

Sachsprecher:
Nur noch mathematische Einsichten gelten lassen, die unmittelbar einleuchten
und durch Anschauung und Intuition erfasst werden koennen - das war der
Standpunkt, den die Intuitionisten im Kampf gegen die aufgetretenen
Antinomien  einnahmen. Der wichtigste Vertreter der Intuitionisten war der
Holländer Brouwer. Erkenntnisse, die nicht durch Intuition oder aber durch
konkrete Konstruktion erfasst werden können, lehnte er vehement ab.
Vor allem alle Aussagen, die das Unendliche behandelten, als sei es etwas
Greifbares, Seiendes, mit dem man rechnen kann, mussten damit
aufgegeben werden.

Solche Errungenschaften einfach über Bord zu werfen, war jedoch für die
meisten Mathematiker und vor allem für die andere Seite im
Grundlagenstreit - die Formalisten - undenkbar. Ihr Vorreiter, David Hilbert,
war im Jahr 1926 noch voller Zuversicht:

Zitator:
Es gibt einen völlig befriedigenden Weg, den Paradoxien zu entgehen, ohne
Verrat an unserer Wissenschaft zu üben. Fruchtbaren Begriffsbildungen und
Schlussweisen wollen wir, wo immer nur die geringste Aussicht sich bietet,
sorgfältig nachspüren und sie pflegen, stützen und gebrauchsfähig
machen. Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen hat, soll uns niemand
mehr vertreiben koennen.

Ich-Erzähler:
Was für Moeglichkeiten Cantor mit seiner Mengenlehre eröffnet hatte,
zeigte sich im Laufe der Vorlesung. Das eigentlich Revolutionäre in der
Mengenlehre ist: Sie baut aus dem Nichts ein ganzes Universum auf. Und mit
"Nichts" ist hier gar nicht mal die fehlende Definition der Menge gemeint,
sondern wirklich das reine Nichts, einfach die leere Menge.

Relativ schnell lässt sich nämlich aus den Mengenlehre-Axiomen - leicht
paradox ist das -  zeigen, dass die leere Menge existiert. Daraus lassen sich
dann weitere Mengen konstruieren. Irgendwann sind das dann so viele, dass
alle Objekte der Mathematik, aus Geometrie, Kurvendiskussion oder
Zahlentheorie sich als Mengen begreifen lassen, die alle nur auf der leeren
Menge fussen. Plus und Minus, Zahlen, Brüche, Funktionen, Kreise: Alles,
jede Rechnung ist dann Mengenlehre - nichts als Mengenlehre -
zusammengehalten von einer handvoll von Axiomen basierend auf dem
Nichts (der leeren Menge).

Sachsprecher:
Hilberts großes Ziel  - und das seiner formalistischen Weggenossen  - war
die rein axiomatische Begründung der Mathematik. Alles inhaltliche
Schließen, auf das sich die Intuitionisten beriefen, sollte verbannt bleiben.
Wie ein Schachspiel mit festen, zu befolgenden Regeln fasst ein Formalist
wie David Hilbert die Mathematik auf. Für ihn ist sie nichts anderes als ein
Bestand aus Zeichenreihen, aus denen nach genau vorgeschrieben Regeln
neue Zeichenreihen hergestellt werden können.

Wie die Regeln aussehen, ist im Prinzip gleichgültig. Wichtig in dem Spiel ist
nur die Widerspruchsfreiheit. In dem Spiel waere ein Widerspruch nämlich
die Regel, dass ein und derselbe Zug verboten und erlaubt zugleich ist. Es
wäre damit sinnlos. Deshalb musste das größte Anliegen eines
Formalisten die Widerspruchsfreiheit der Axiome sein.
 

Ich-Erzähler
Das Semester neigte sich schon seinem Ende zu. Inzwischen hatten wir das
Universum Mathematik aus dem Nichts gebaut. Daran dass das Problem mit
dem Russellschen Widerspruch, der der spannende Ausgangspunkt der
Vorlesung war, noch immer so ungeklärt war wie am Anfang, schien sich
niemand zu stören. Ich konnte mir zwar kaum vorstellen, dass wir dieses
gewaltige Mathematik-Gebäude aufgebaut hätten, wenn es am Ende doch
nicht halten würde. Aber Tatsache war, dass die Frage war offen blieb, ob
ein Widerspruch wie bei Russell in unserem Axiomensystem  entstehen
könnte. Prinzipiell war es also möglich, dass alles erneut zu Fall kommt.

Sachsprecher:
Um die Widerspruchsfreiheit des Zeichenspiels Mathematik zu
gewährleisten, stellte Hilbert das sogenannte "formalistische Programm" auf.
Das lautet: Zunächst alle Schlussweisen, die nicht unmittelbar zu einem
Widerspruch führen, zulassen und nachträglich deren Widerspruchsfreiheit
beweisen.

Dabei wollte er aber nur gesicherte Schlussweisen der Intuitionisten
verwenden - Das heisst: Die bedenkliche klassische Mathematik sollte sich
durch unbedenkliche Schlüsse an den eigenen Haaren aus dem Sumpf
ziehen.

Ich-Erzähler:
Und es kam, wie es kommen musste, was ich vorher aber letztlich weder
glauben wollte, noch konnte. Nach über drei Monaten Vorlesung, die auf
nichts anderem basierten als den Axiomen der Mengenlehre, nahmen wir die
Frage wieder auf, ob denn hier die Russellsche Antinomie ausgeschlossen
werden koenne.

Und nun plötzlich machte der Professor es kurz und schmerzlos: Im Jahre
1931 bewies Kurt Gödel (ganz formal!) sein Unvollständigkeitstheorem.
Das besagt: Von keinem Axiomensystem, das die Zahlentheorie umfasst,
kann (selbst wenn man alle darin erlaubten Mittel anwendet) gezeigt werden,
dass es widerspruchsfrei ist.

Unser Axiomensystem umfasste nicht nur die Zahlentheorie, sondern
eigentlich alles, was man aus der Mathematik kennt. Also kann dessen
Widerspruchsfreiheit erst recht nicht bewiesen werden. Quod erat
demonstrandum (was zu beweisen war): Die Mathematik steht in etwa so
sicher wie ein Hochhaus im Erdbebengebiet.  - Ein Widerspruch wie der
Russellsche kann jederzeit wieder auftreten.

Sachsprecher:
Gödels Unvollstaendigkeitssatz bereiteten dem formalistischen Programm
ein jähes Ende. Er besiegelte endgültig den Riss, der sich durch die Welt
der Wissenschaften zog. Ein Riss, der wohl nie ganz verheilen wird. Die
absolute logische Wahrheit, die sich selbst begründet, kann und wird es
nicht geben.
 
 

Sachsprecher:
Alle drei Richtungen und Versuche, die  Russellschen Antinomie zu
überwinden, sind damit gescheitert. Der Logizismus aufgrund der
Widersprueche, die den logischen Aufbau durcheinanderbrachten, der
Intuitionismus, weil er grosse Teile der Mathematik preisgeben muss, und der
Formalismus, weil seine Widerspruchsfreiheit niemals gesichert werden kann.
Dennoch: Die Mehrzahl der Mathematiker blieben davon bis heute
unbeeindruckt. Es hat sich ein pragmatischer Formalismus durchgesetzt, der
Grundlagenprobleme einfach ignoriert. Er betreibt unbekümmert den formal-
axiomatischen Aufbau der Mathematik, dessen Basis die heutige
Mengenlehre bildet.

Ich-Erzähler:
Die sonst so klar denkenden Mathematiker, die Vertreter der Wissenschaft
aller Wissenschaften tragen Scheuklappen. Als sei in diesem Jahrhundert
nichts passiert, als wuerde der Formalismus noch Gewissheit garantieren,
krickeln die Professoren weiter ihre strohigen Axiome, Definitionen, Sätze
und Beweise an die Tafel, ohne nur einen leisen Gedanken auf den
historischen und kulturellen Kontext zu verschwenden, in dem sich auch
mathematisches Denken immer befindet.

Die meisten meiner ehemaligen Kommilitonen haben noch nie von der
Russellschen Antinomie und der Grundlagenkrise gehört, geschweige denn,
dass den zukünftigen Mathe-Lehrern auch nur die Möglichkeit gegeben
würde, eine Vorlesung ueber Mathematikgeschichte zu hören.
Als wenn nicht Russell und Gödel gezeigt hätten, dass auch die
Mathematik nur von ihrer Geschichte her verständlich gemacht werden kann
und keineswegs eine feststehende, unwandelbare Wissenschaft ist.
Um das zu verstehen, reicht es sogar, ein zweitklassiger Geist zu sein. Man
muss nur überhaupt welchen haben und nicht nur rechnen wie eine
Maschine. Mathematik ist eben eine Geisteswissenschaft oder wie Ludwig
Wittgenstein einmal gesagt hat: "Der Mathematiker ist ein Erfinder, kein
Entdecker."
 

Autor: Kai Petersen
Redaktion: Bildung
Sendung: 19.02.2000
SWR 2