• Gruppen, Ringe, Körper (insbes.: symmetrische Gruppe)
• Unterstrukturen und Faktorstrukturen (insbes.: Normalteiler, Isomorphiesätze)
• Hauptidealringe: Z, Polynomring K[t] (insbes.: Euklidischer Algorithmus)

• globale Körper,
• Moduln über Dedekindbereichen,
• Bewertungen und Vervollständigungen,
• Ganzheit und Ordnungen.

Kategorientheorie ist die „Grammatik“ der mathematischen Sprache.  Vieles davon verinnerlicht man während des Mathematikstudiums nebenbei ohne es zu merken.

Ziel dieser Vorlesung ist es, bewusst den Blick auf diese inneren Strukturen in der Mathematik zu richten. Das Konzept ist weniger auf eine tiefe Spezialisierung ausgerichtet als vielmehr auf eine breite Einführung in die Theorie. Es geht darum, eine Vorstellung von der Bandbreite der kategoriellen Sprache zu bekommen, viele Beispiele kennen zu lernen und vertraute Konzepte ("injektiv", "Kern", etc.) aus einem neuen Blickwinkel zu sehen. 

• Kategorien, Funktoren, natürliche Transformationen,
• Dualität, Yoneda Lemma,
• Universelle Konstruktionen, Produkte, Limiten,
• Adjungierte Funktoren,
• Abelsche Kategorien, Kerne, Kokerne, exakte Sequenzen.

• Satz von Maschke,
• Charaktertafeln,
• Orthogonalitätsrelationen,
• Rationalitätsfragen,
• Satz von Burnside,
• induzierte Charaktere,
• Frobeniusgruppen.

Symmetrische Kryptosysteme (SKC):

• Strom- und Blockchiffren,
• Häufigkeitsanalyse,
• Moderne Chiffren.

Asymmetrische Kryptosysteme (PKC):

• Faktorisierungsproblem großer Zahlen, RSA,
• Primzahltests,
• Diskreter Logarithmus, Diffie-Hellman Schlüsselaustausch, El-Gamal Verschlüsselung, Hashfunktionen, Signatur,
• Kryptographie auf elliptischen Kurven (ECC),
• Attacken auf das diskrete Logarithmus-Problem,
• Faktorisierungsalgorithmen (z.B. Quadratisches Sieb, Pollard ρ, Lenstra).

• Mengentheoretische Topologie: Topologische Räume und stetige Abbildungen, Zusammenhang, Trennungsaxiome, Kompaktheit, Konstruktionen (insbes. Produkte, Quotienten)
• Homotopie von Abbildungen
• Fundamentalgruppe

• Eindeutige Primzerlegung in Z, lineare diophantische Gleichungen,
• Eulersche phi-Funktion, Struktur von (Z/nZ)*,
• Gaußsches Reziprozitätsgesetz,
• Quadratische Zahlkörper, Zerlegungsverhalten von Primzahlen, Summen von Quadraten.

• Reelle und komplexe Zahlen,
• Folgen, Grenzwerte und Reihen,
• Potenzreihen,
• elementare Funktionen,
• Stetigkeit und Differenziation im eindimensionalen Fall,
• Integration im eindimensionalen Fall,
• Vektorräume,
• Lineare Abbildungen, Matrizen und lineare Gleichungssysteme.

Verpflichtende Inhalte:

• affine und projektive Räume, insbesondere die projektive Gerade und die projektive Ebene,
• ebene algebraische Kurven über den komplexen Zahlen,
• glatte und singuläre Punkte,
• der Satz von Bézout für projektive ebene Kurven,
• das topologische Geschlecht einer Kurve und die Geschlechts-Formel,
• rationale Abbildungen zwischen ebenen Kurven und die Riemann-Hurwitz-Formel.

Zudem wird eine Auswahl aus folgenden Themen behandelt:

• Polare und Hesse-Kurven,
• duale Kurven und Plückerformeln,
• Linearsysteme und Divisoren auf ebenen Kurven,
• reelle projektive Kurven,
• Puiseux-Parametrisierungen ebener Kurvensingularitäten,
• Invarianten ebener Kurvensingularitäten,
• elliptische Kurven,
• weitere Aspekte ebener algebraischer Kurven.

• Primzahltests und Faktorisierung ganzer Zahlen,
• Polynomarithmetik (schnelle Polynommultiplikation, modulare ggT-Berechnung, Faktorisierung),
• Moduln über Hauptidealringen (Struktursatz, Hermite- und Smith-Normalform),
• Gröbnerbasen für Ideale und Moduln,
• Gitter (Rationale Rekonstruktion, LLL-Algorithmus, Anwendung auf Polynomfaktorisierung).

• Struktur imaginär quadratischer Zahlkörper,
• Ideale und Idealklassengruppen,
• Ideale als geometrische Gitter,
• Endlichkeit der Klassengruppe.

Spiegelungsgruppen sind allgegenwärtig in der Mathematik. Wir konzentrieren uns auf endliche Spiegelungsgruppen über einem Körper von Charakteristik Null und ihre

• zentralen Beispiele (u. a. symmetrische Gruppen),
• Strukturtheorie,
• Darstellungstheorie.

• Potenzreihen, Sätze von Weierstraß,
• Analytische Algebren,
• Elementare Theorie kohärenter Garben,
• Komplexe Raumkeime,
• Lokaler Endlichkeitssatz für Morphismen,
• Invarianten von Hyperflächensingularitäten,
• Endliche Bestimmtheit,
• Deformationstheorie vollständiger Durchschnitte,
• Klassifikation der einfachen Hyperflächensingularitäten.