• Gruppen, Ringe, Körper (insbes.: symmetrische Gruppe)
• Unterstrukturen und Faktorstrukturen (insbes.: Normalteiler, Isomorphiesätze)
• Hauptidealringe: Z, Polynomring K[t] (insbes.: Euklidischer Algorithmus)

Verpflichtende Inhalte:

• Affine und projektive Varietäten (insbes.: Dimension, Morphismen, glatte und singuläre Punkte, Punkt-Aufblasungen, Anwendungen und Beispiele),
• Garben und Garbenkohomologie mit Anwendungen (der Satz von Riemann-Roch für Kurven, projektive Einbettungen von Kurven).

Zudem wird eine Auswahl aus folgenden Themen behandelt:

• Schemata,
• Differentialformen,
• weitere Aspekte der algebraischen Geometrie.

• Definition und grundlegende Eigenschaften von Invariantenringen,
• Reynolds-Operatoren, Hilbert-Reihen, Syzygien,
• Die Cohen–Macaulay-Eigenschaft von Invariantenringen,
• Algorithmische Methoden zur Berechnung von Invarianten,
• Hilberts Endlichkeitssatz,
• Erster Fundamentalsatz der Invariantentheorie.

• LLL-Algorithmus,
• Zahlkörper, Ganzheitsringe, Einheiten, Klassengruppe,
• Zerlegungsverhalten von Primzahlen,
• Algorithmische Berechnung dieser Größen

Es wird die Theorie der klassischen Gruppen studiert. Diese haben sich in einer Vielzahl von Bereichen als wichtig erwiesen, die von der Physik bis zur Geometrie und weit darüber hinaus reichen. Insbesondere spielen sie eine herausragende Rolle bei der Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen.

Im Einzelnen werden die folgenden Themen behandelt:

• Räume mit Formen,
• Symplektische Gruppen,
• Orthogonale Gruppen,
• Clifford-Algebren,
• Unitäre Gruppen,
• BN-Paare.

• Ringe, Moduln, Lokalisierung, Lemma von Nakayama,
• Noethersche / Artinsche Ringe und Moduln,
• Primärzerlegung,
• Krulls Hauptidealsatz, Dimension,
• Ganze Ringerweiterungen, Going-up, Going-down, Normalisierung,
• Noethernormalisierung, Hilbertscher Nullstellensatz,
• Dedekindringe, invertierbare Ideale.

• Hauptidealringe, ZPE-Ringe,
• Gruppen, Operationen, Sylowsätze,
• Stamm- und Zerfällungskörper,
• Hauptsatz der Galoistheorie,
• Auflösbarkeit von Gleichungen, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.

• Komplexe Differentialrechnung: Holomorphe Funktionen, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen;
• komplexe Integralrechnung: Kurvenintegrale, Cauchyscher Integralsatz und Anwendungen;
• Singularitäten holomorpher Funktionen: Laurentreihen, Hebbarkeitssatz;
• Residuensatz und Anwendungen.

• elliptische Funktionen, Weierstraßsche P-Funktion,
• komplexe Tori,
• ebene Geometrie und geometrische Konstruktion einer Gruppenstruktur,
• elliptische Kurven,
• Modulformen, Modulkurven und Klassifikationstheorie elliptischer Kurven.

• Reelle und komplexe Zahlen,
• Folgen, Grenzwerte und Reihen,
• Potenzreihen,
• elementare Funktionen,
• Stetigkeit und Differenziation im eindimensionalen Fall,
• Integration im eindimensionalen Fall,
• Vektorräume,
• Lineare Abbildungen, Matrizen und lineare Gleichungssysteme.

• Metrische Räume,
• Differenziation und Integration im mehrdimensionalen Fall,
• Geometrie des euklidischen Raumes,
• Diagonalisierbarkeit, Hauptachsentransformation, Berechnung der Jordan-Normalform.

Moduln über Ringen und Algebren:

• die Sätze von Wedderburn, Jordan-Hölder und Krull-Schmidt.

Moduln über Gruppenalgebren:

• Induktion und Restriktion,
• die Mackey-Formel,
• Clifford-Theorie,
• projektive Darstellungen,
• Blöcke.

Darstellungstheorie symmetrischer Gruppen.

Fortgeschrittenes Thema auf Masterniveau aus dem Bereich Kryptographie.

Homologie und Kohomologie topologischer Räume, Anwendungen.