AG Algebra, Geometrie und Computeralgebra


Allgemeine Information

Unten sind die Vorlesungen und Seminare aufgelistet, die unsere Arbeitsgruppe im Sommersemester 2022 anbietet.

Wenn Sie an einem Seminar oder Reading Course teilnehmen möchten, melden Sie sich bitte per E-Mail bei der jeweiligen Betreuerin bzw. dem jeweiligen Betreuer. Termine werden dann in Absprache mit den Teilnehmerinnen und Teilnehmern festgelegt.

Wenn Sie eine Abschlussarbeit in unserer Arbeitsgruppe schreiben möchten, setzen Sie sich einfach direkt mit der gewünschten Betreuerin bzw. dem gewünschten Betreuer in Verbindung.

Wichtige Links

  • KIS: Termine der Veranstaltungen
  • URM: Anmeldung zu den Übungen bis spätestens 29.04.2022, 12:00 Uhr 
  • OpenOLAT: Kursmaterialien und weitere Informationen (Zugangscodes erhalten Sie in der ersten Vorlesung)

Vorlesungen im Sommersemester 2022

Unsere Arbeitsgruppe bietet im Sommersemester 2022 folgende Vorlesungen an:

Algebraische Strukturen

Inhalte

  • Gruppen, Ringe, Körper (insbes.: symmetrische Gruppe)
  • Unterstrukturen und Faktorstrukturen (insbes.: Normalteiler, Isomorphiesätze)
  • Hauptidealringe: Z, Polynomring K[t] (insbes.: Euklidischer Algorithmus)

Kontaktzeit

2 SWS Vorlesung
2 SWS Übung/Tutorium

Inhaltliche Voraussetzungen

keine

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet jedes Semester statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Vorlesung Algebraische Strukturen

Übungen Algebraische Strukturen

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

Algebraische Strukturen

 

 

Algebraic Number Theory

Inhalte

  • globale Körper,
  • Moduln über Dedekindbereichen,
  • Bewertungen und Vervollständigungen,
  • Ganzheit und Ordnungen.

Kontaktzeit

4 SWS Vorlesung
2 SWS Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Einführung: Algebra" und "Commutative Algebra"; zusätzlich sind Kenntnisse aus dem Modul "Quadratic Number Fields" wünschenswert und hilfreich.

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet unregelmäßig statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Vorlesung Algebraic Number Theory

Übungen Algebraic Number Theory

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Algebraic Number Theory

Categories

Inhalte

Kategorientheorie ist die „Grammatik“ der mathematischen Sprache.  Vieles davon verinnerlicht man während des Mathematikstudiums nebenbei ohne es zu merken.

Ziel dieser Vorlesung ist es, bewusst den Blick auf diese inneren Strukturen in der Mathematik zu richten. Das Konzept ist weniger auf eine tiefe Spezialisierung ausgerichtet als vielmehr auf eine breite Einführung in die Theorie. Es geht darum, eine Vorstellung von der Bandbreite der kategoriellen Sprache zu bekommen, viele Beispiele kennen zu lernen und vertraute Konzepte ("injektiv", "Kern", etc.) aus einem neuen Blickwinkel zu sehen. 

  • Kategorien, Funktoren, natürliche Transformationen,
  • Dualität, Yoneda Lemma,
  • Universelle Konstruktionen, Produkte, Limiten,
  • Adjungierte Funktoren,
  • Abelsche Kategorien, Kerne, Kokerne, exakte Sequenzen.

Kontaktzeit

2 SWS Vorlesung
 

Inhaltliche Voraussetzungen

Lineare Algebra

Algebraische Strukturen

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird unregelmäßig angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Vorlesung Categories

Hier geht es zum OLAT-Kurs

Categories

Character Theory of Finite Groups (Charaktertheorie endlicher Gruppen)

Inhalte

  • Satz von Maschke,
  • Charaktertafeln,
  • Orthogonalitätsrelationen,
  • Rationalitätsfragen,
  • Satz von Burnside,
  • induzierte Charaktere,
  • Frobeniusgruppen.

Kontaktzeit

2 SWS Vorlesung
1 SWS Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Algebraische Strukturen" und "Einführung: Algebra".

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird unregelmäßig angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Vorlesung Character Theory of Finite Groups

Übungen Character Theory of Finite Groups

Hier geht es zum OLAT-Kurs

Character Theory of Finite Groups

Cryptography (Kryptographie)

Inhalte

Symmetrische Kryptosysteme (SKC):

  • Strom- und Blockchiffren,
  • Häufigkeitsanalyse,
  • Moderne Chiffren.

Asymmetrische Kryptosysteme (PKC):

  • Faktorisierungsproblem großer Zahlen, RSA,
  • Primzahltests,
  • Diskreter Logarithmus, Diffie-Hellman Schlüsselaustausch, El-Gamal Verschlüsselung, Hashfunktionen, Signatur,
  • Kryptographie auf elliptischen Kurven (ECC),
  • Attacken auf das diskrete Logarithmus-Problem,
  • Faktorisierungsalgorithmen (z.B. Quadratisches Sieb, Pollard ρ, Lenstra).

Kontaktzeit

4 SWS Vorlesung
2 SWS Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Algebraische Strukturen" und "Elementare Zahlentheorie"

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Sommersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Vorlesung Cryptography

Übungen Cryptography

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

Cryptography

Einführung: Topologie

Inhalte

  • Mengentheoretische Topologie: Topologische Räume und stetige Abbildungen, Zusammenhang, Trennungsaxiome, Kompaktheit, Konstruktionen (insbes. Produkte, Quotienten)
  • Homotopie von Abbildungen
  • Fundamentalgruppe

Kontaktzeit

2 SWS Vorlesung
1 SWS Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung "Algebraische Strukturen"

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Sommersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Vorlesung Einführung: Topologie

Übungen Einführung: Topologie

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

Einführung: Topologie

Elementare Zahlentheorie

Inhalte

  • Eindeutige Primzerlegung in Z, lineare diophantische Gleichungen,
  • Eulersche phi-Funktion, Struktur von (Z/nZ)*,
  • Gaußsches Reziprozitätsgesetz,
  • Quadratische Zahlkörper, Zerlegungsverhalten von Primzahlen, Summen von Quadraten.

Kontaktzeit

2 SWS Vorlesung
1 SWS Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung "Algebraische Strukturen"

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet jedes Sommersemester statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Vorlesung Elementare Zahlentheorie

Übungen Elementare Zahlentheorie

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Elementare Zahlentheorie

Grundlagen der Mathematik I

Inhalte

  • Reelle und komplexe Zahlen,
  • Folgen, Grenzwerte und Reihen,
  • Potenzreihen,
  • elementare Funktionen,
  • Stetigkeit und Differenziation im eindimensionalen Fall,
  • Integration im eindimensionalen Fall,
  • Vektorräume,
  • Lineare Abbildungen, Matrizen und lineare Gleichungssysteme.

Kontaktzeit

6 SWS Vorlesung
3 SWS Übung
3 SWS Tutorium

Inhaltliche Voraussetzungen

keine

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet jedes Semester statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Vorlesung Grundlagen der Mathematik I

Übungen GdM I: Analysis

Übungen GdM I: Lineare Algebra

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

GdM I: Analysis

GdM I: Lineare Algebra

Plane Algebraic Curves (Ebene algebraische Kurven)

Inhalte

Verpflichtende Inhalte:

  • affine und projektive Räume, insbesondere die projektive Gerade und die projektive Ebene,
  • ebene algebraische Kurven über den komplexen Zahlen,
  • glatte und singuläre Punkte,
  • der Satz von Bézout für projektive ebene Kurven,
  • das topologische Geschlecht einer Kurve und die Geschlechts-Formel,
  • rationale Abbildungen zwischen ebenen Kurven und die Riemann-Hurwitz-Formel.

Zudem wird eine Auswahl aus folgenden Themen behandelt:

  • Polare und Hesse-Kurven,
  • duale Kurven und Plückerformeln,
  • Linearsysteme und Divisoren auf ebenen Kurven,
  • reelle projektive Kurven,
  • Puiseux-Parametrisierungen ebener Kurvensingularitäten,
  • Invarianten ebener Kurvensingularitäten,
  • elliptische Kurven,
  • weitere Aspekte ebener algebraischer Kurven.

Kontaktzeit

2 SWS Vorlesung
1 SWS Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Algebraische Strukturen"; weiterführende Kenntnisse aus den Lehrveranstaltungen "Einführung: Algebra" und "Einführung: Topologie" sind von Vorteil.

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Sommersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Vorlesung Plane Algebraic Curves

Übungen Plane Algebraic Curves

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

Plane Algebraic Curves

Praktische Mathematik: Einführung in das symbolische Rechnen

Inhalte

  • Primzahltests und Faktorisierung ganzer Zahlen,
  • Polynomarithmetik (schnelle Polynommultiplikation, modulare ggT-Berechnung, Faktorisierung),
  • Moduln über Hauptidealringen (Struktursatz, Hermite- und Smith-Normalform),
  • Gröbnerbasen für Ideale und Moduln,
  • Gitter (Rationale Rekonstruktion, LLL-Algorithmus, Anwendung auf Polynomfaktorisierung).

Kontaktzeit

4 SWS Vorlesung
2 SWS Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung "Algebraische Strukturen"

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet jedes Sommersemester statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Vorlesung PraMa: Einführung in das Symbolische Rechnen

Übungen PraMa: Einführung in das Symbolische Rechnen

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

Einführung in das symbolische Rechnen

Quadratic Number Fields (Quadratische Zahlkörper)

Inhalte

  • Struktur imaginär quadratischer Zahlkörper,
  • Ideale und Idealklassengruppen,
  • Ideale als geometrische Gitter,
  • Endlichkeit der Klassengruppe.

Kontaktzeit

2 SWS Vorlesung
1 SWS Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Algebraische Strukturen"; weiterführende Kenntnisse aus den Lehrveranstaltungen "Elementare Zahlentheorie" und "Einführung: Algebra" sind von Vorteil.

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet unregelmäßig statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Vorlesung Quadratic Number Fields
Übung Quadratic Number Fields

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

Quadratic Number Fields

Reflection Groups (Spiegelungsgruppen)

Inhalte

Spiegelungsgruppen sind allgegenwärtig in der Mathematik. Wir konzentrieren uns auf endliche Spiegelungsgruppen über einem Körper von Charakteristik Null und ihre

  • zentralen Beispiele (u. a. symmetrische Gruppen),
  • Strukturtheorie,
  • Darstellungstheorie.

Kontaktzeit

2 SWS Vorlesung

1 SWS Übung (optional)

Inhaltliche Voraussetzungen

Inhaltlich: Einführung: Algebra, Character Theory of Finite Groups.

Formal: Keine.

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird unregelmäßig angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Vorlesung Reflection Groups

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

Link folgt
 

Singularity Theory

Inhalte

  • Potenzreihen, Sätze von Weierstraß,
  • Analytische Algebren,
  • Elementare Theorie kohärenter Garben,
  • Komplexe Raumkeime,
  • Lokaler Endlichkeitssatz für Morphismen,
  • Invarianten von Hyperflächensingularitäten,
  • Endliche Bestimmtheit,
  • Deformationstheorie vollständiger Durchschnitte,
  • Klassifikation der einfachen Hyperflächensingularitäten.

Kontaktzeit

4 SWS Vorlesung

2 SWS Übung/Tutorium

Inhaltliche Voraussetzungen

 

GdM, Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie sind wünschenswert und hilfreich, werden aber nicht zwingend vorausgesetzt.

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird unregelmäßig angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag: 

Vorlesung Singularity Theory

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

Singularity Theory

Seminare im Sommersemester 2022

Unsere Arbeitsgruppe bietet im Sommersemester 2022 folgende Seminare an:

Seminar Representation Theory

Inhalte

Kontaktzeit

2 SWS

Inhaltliche Voraussetzungen

Angebotsturnus

Dieses Seminar findet unregelmäßig statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Seminar Representation Theory

 

Seminar Representation Theory of the Symmetric Groups

Inhalte

Kontaktzeit

It is planned to have the seminar in a blocked form, with all talks concentrated into two or three weeks.

Inhaltliche Voraussetzungen

Angebotsturnus

Dieses Seminar findet unregelmäßig statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Seminar Representation Theory of the Symmetric Groups

 

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