• Gruppen, Ringe, Körper (insbes.: symmetrische Gruppe)
• Unterstrukturen und Faktorstrukturen (insbes.: Normalteiler, Isomorphiesätze)
• Hauptidealringe: Z, Polynomring K[t] (insbes.: Euklidischer Algorithmus)

• globale Körper,
• Moduln über Dedekindbereichen,
• Bewertungen und Vervollständigungen,
• Ganzheit und Ordnungen.

• Satz von Maschke,
• Charaktertafeln,
• Orthogonalitätsrelationen,
• Rationalitätsfragen,
• Satz von Burnside,
• induzierte Charaktere,
• Frobeniusgruppen.

• Normalformen und Standardbasen für Ideale und Moduln,
• Syzygien, freie Aufloesungen und der Beweis des Buchberger-Kriteriums,
• Berechnung der Normalisierung Noetherscher Ringe,
• Berechnung der Primärzerlegung von Idealen,
• Hilbertfunktion,
• Ext und Tor.

Symmetrische Kryptosysteme (SKC):

• Strom- und Blockchiffren,
• Häufigkeitsanalyse,
• Moderne Chiffren.

Asymmetrische Kryptosysteme (PKC):

• Faktorisierungsproblem großer Zahlen, RSA,
• Primzahltests,
• Diskreter Logarithmus, Diffie-Hellman Schlüsselaustausch, El-Gamal Verschlüsselung, Hashfunktionen, Signatur,
• Kryptographie auf elliptischen Kurven (ECC),
• Attacken auf das diskrete Logarithmus-Problem,
• Faktorisierungsalgorithmen (z.B. Quadratisches Sieb, Pollard ρ, Lenstra).

• Mengentheoretische Topologie: Topologische Räume und stetige Abbildungen, Zusammenhang, Trennungsaxiome, Kompaktheit, Konstruktionen (insbes. Produkte, Quotienten)
• Homotopie von Abbildungen
• Fundamentalgruppe

• Eindeutige Primzerlegung in Z, lineare diophantische Gleichungen,
• Eulersche phi-Funktion, Struktur von (Z/nZ)*,
• Gaußsches Reziprozitätsgesetz,
• Quadratische Zahlkörper, Zerlegungsverhalten von Primzahlen, Summen von Quadraten.

• Theorie der Schemata (affine, projektive und relative Schemata),
• Strukturgarben und Modulgarben,
• flache Familien,
• Grothendieck-Funktor.

• Metrische Räume,
• Differenziation und Integration im mehrdimensionalen Fall,
• Geometrie des euklidischen Raumes,
• Diagonalisierbarkeit, Hauptachsentransformation, Berechnung der Jordan-Normalform.

• Konstruktion der p-adischen Zahlen,
• ganze p-adische Zahlen, Einheiten,
• p-adische Topologie,
• Henselsches Lemma,
• algebraischer Abschluss,
• Newtonpolygon,
• Trägheits- und Verzweigungsgruppen

Verpflichtende Inhalte:

• affine und projektive Räume, insbesondere die projektive Gerade und die projektive Ebene,
• ebene algebraische Kurven über den komplexen Zahlen,
• glatte und singuläre Punkte,
• der Satz von Bézout für projektive ebene Kurven,
• das topologische Geschlecht einer Kurve und die Geschlechts-Formel,
• rationale Abbildungen zwischen ebenen Kurven und die Riemann-Hurwitz-Formel.

Zudem wird eine Auswahl aus folgenden Themen behandelt:

• Polare und Hesse-Kurven,
• duale Kurven und Plückerformeln,
• Linearsysteme und Divisoren auf ebenen Kurven,
• reelle projektive Kurven,
• Puiseux-Parametrisierungen ebener Kurvensingularitäten,
• Invarianten ebener Kurvensingularitäten,
• elliptische Kurven,
• weitere Aspekte ebener algebraischer Kurven.

• Primzahltests und Faktorisierung ganzer Zahlen,
• Polynomarithmetik (schnelle Polynommultiplikation, modulare ggT-Berechnung, Faktorisierung),
• Moduln über Hauptidealringen (Struktursatz, Hermite- und Smith-Normalform),
• Gröbnerbasen für Ideale und Moduln,
• Gitter (Rationale Rekonstruktion, LLL-Algorithmus, Anwendung auf Polynomfaktorisierung).