AG Algebra, Geometrie und Computeralgebra


Allgemeine Information

Unten sind die Vorlesungen aufgelistet, die unsere Arbeitsgruppe im Sommersemester 2019 anbietet.

Wenn Sie im Sommersemester an einem Seminar oder Reading Course teilnehmen möchten, melden Sie sich bitte per E-Mail bei der jeweiligen Betreuerin bzw. dem jeweiligen Betreuer. Termine werden dann in Absprache mit den Teilnehmerinnen und Teilnehmern festgelegt.

Wenn Sie eine Abschlussarbeit in unserer Arbeitsgruppe schreiben möchten, setzen Sie sich einfach direkt mit der gewünschten Betreuerin bzw. dem gewünschten Betreuer in Verbindung.

Die Veranstaltungen, die unregelmäßig stattfinden, sind für die kommenden Semester wie folgt geplant:

  • In jedem Sommersemester wird mindestens eine der Lehrveranstaltungen "Character Theory of Finite Groups", "p -adic Numbers" oder "Quadratic Number Fields" angeboten.

Wichtige Links

  • KIS: Termine der Veranstaltungen
  • URM: Anmeldung zu Übungen (offen bis 18. April 2019, 12:00 Uhr)
  • OpenOLAT: Kursmaterialien und weitere Informationen (Zugangscodes erhalten Sie in der ersten Vorlesung)

Vorlesungen im Sommersemester

Unsere Arbeitsgruppe bietet im Sommersemester 2019 folgende Vorlesungen an:

Algebraische Strukturen

Inhalte

  • Gruppen, Ringe, Körper (insbes.: symmetrische Gruppe)
  • Unterstrukturen und Faktorstrukturen (insbes.: Normalteiler, Isomorphiesätze)
  • Hauptidealringe: Z, Polynomring K[t] (insbes.: Euklidischer Algorithmus)

Kontaktzeit

2 SWS / 30 h Vorlesung
2 SWS / 30 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

keine

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet jedes Semester statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Algebraische Strukturen (Vorlesung)
Algebraische Strukturen (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Algebraische Strukturen WS 18/19

Algebraic Groups

Inhalte

  • Lineare algebraische Gruppen,
  • die klassischen Gruppen,
  • nilpotente und auflösbare Gruppen,
  • Borel-Untergruppen,
  • Wurzelsysteme,
  • der Klassifikationssatz,
  • Struktur halbeinfacher Gruppen.

Kontaktzeit

4 SWS / 60 h Vorlesung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Einführung: Algebra" und "Commutative Algebra". Kenntnisse aus der Lehrveranstaltung "Algebraic Geometry" sind wünschenswert.

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet jedes Sommersemester statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Algebraic Groups (Vorlesung)
Algebraic Groups (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK: Algebraic Groups SS19

Algebraic Number Theory

Inhalte

  • globale Körper,
  • Moduln über Dedekindbereichen,
  • Bewertungen und Vervollständigungen,
  • Ganzheit und Ordnungen.

Kontaktzeit

4 SWS / 60 h Vorlesung
2 SWS / 30 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Einführung: Algebra" und "Commutative Algebra"; zusätzlich sind Kenntnisse aus dem Modul "Quadratic Number Fields" wünschenswert und hilfreich.

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet unregelmäßig statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Algebraic Number Theory (Vorlesung)
Algebraic Number Theory (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Algebraic Number Theory SS 19

Character Theory of Finite Groups (Charaktertheorie endlicher Gruppen)

Inhalte

  • Satz von Maschke,
  • Charaktertafeln,
  • Orthogonalitätsrelationen,
  • Rationalitätsfragen,
  • Satz von Burnside,
  • induzierte Charaktere,
  • Frobeniusgruppen.

Kontaktzeit

2 SWS / 30 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Algebraische Strukturen" und "Einführung: Algebra".

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet unregelmäßig statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Character Theory of Finite Groups (Vorlesung)
Character Theory of Finite Groups (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Character Theory of Finite Groups SS 19

Computer Algebra

Inhalte

  • Normalformen und Standardbasen für Ideale und Moduln,
  • Syzygien, freie Aufloesungen und der Beweis des Buchberger-Kriteriums,
  • Berechnung der Normalisierung Noetherscher Ringe,
  • Berechnung der Primärzerlegung von Idealen,
  • Hilbertfunktion,
  • Ext und Tor.

Kontaktzeit

4 SWS / 60 h Vorlesung
2 SWS / 30 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Einführung in das symbolische Rechnen" und "Commutative Algebra"

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet jedes Sommersemester statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Computer Algebra (Vorlesung)
Computer Algebra (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK: Computer Algebra SS19

Cryptographie (Kryptographie)

Inhalte

Symmetrische Kryptosysteme (SKC):

  • Strom- und Blockchiffren,
  • Häufigkeitsanalyse,
  • Moderne Chiffren.

Asymmetrische Kryptosysteme (PKC):

  • Faktorisierungsproblem großer Zahlen, RSA,
  • Primzahltests,
  • Diskreter Logarithmus, Diffie-Hellman Schlüsselaustausch, El-Gamal Verschlüsselung, Hashfunktionen, Signatur,
  • Kryptographie auf elliptischen Kurven (ECC),
  • Attacken auf das diskrete Logarithmus-Problem,
  • Faktorisierungsalgorithmen (z.B. Quadratisches Sieb, Pollard ρ, Lenstra).

Kontaktzeit

4 SWS / 60 h Vorlesung
2 SWS / 30 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Algebraische Strukturen" und "Elementare Zahlentheorie"

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Sommersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Cryptographie (Vorlesung)
Cryptographie (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Cryptographie SS 19

Einführung: Topologie

Inhalte

  • Mengentheoretische Topologie: Topologische Räume und stetige Abbildungen, Zusammenhang, Trennungsaxiome, Kompaktheit, Konstruktionen (insbes. Produkte, Quotienten)
  • Homotopie von Abbildungen
  • Fundamentalgruppe

Kontaktzeit

4 SWS / 60 h Vorlesung
2 SWS / 30 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung "Algebraische Strukturen"

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Sommersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Einführung: Topologie (Vorlesung)
Einführung: Topologie (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK: Einführung in die Topologie SS 19

Elementare Zahlentheorie

Inhalte

  • Eindeutige Primzerlegung in Z, lineare diophantische Gleichungen,
  • Eulersche phi-Funktion, Struktur von (Z/nZ)*,
  • Gaußsches Reziprozitätsgesetz,
  • Quadratische Zahlkörper, Zerlegungsverhalten von Primzahlen, Summen von Quadraten.

Kontaktzeit

2 SWS / 30 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung "Algebraische Strukturen"

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet jedes Sommersemester statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Elementare Zahlentheorie (Vorlesung)
Elementare Zahlentheorie(Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK: Elementare Zahlentheorie SS19

Grundlagen der Mathematik II

Inhalte

  • Metrische Räume,
  • Differenziation und Integration im mehrdimensionalen Fall,
  • Geometrie des euklidischen Raumes,
  • Diagonalisierbarkeit, Hauptachsentransformation, Berechnung der Jordan-Normalform.

Kontaktzeit

6 SWS / 90 h Vorlesung
2 SWS / 30 h Übung
1 SWS / 15 h Tutorium

Inhaltliche Voraussetzungen

keine

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet jedes Semester statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Grundlagen der Mathematik II (Vorlesung)
Grundlagen der Mathematik II (Übung)
Grundlagen der Mathematik II (Tutorium)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Grundlagen der Mathematik II SS 2019

Plane Algebraic Curves (Ebene algebraische Kurven)

Inhalte

Verpflichtende Inhalte:

  • affine und projektive Räume, insbesondere die projektive Gerade und die projektive Ebene,
  • ebene algebraische Kurven über den komplexen Zahlen,
  • glatte und singuläre Punkte,
  • der Satz von Bézout für projektive ebene Kurven,
  • das topologische Geschlecht einer Kurve und die Geschlechts-Formel,
  • rationale Abbildungen zwischen ebenen Kurven und die Riemann-Hurwitz-Formel.

Zudem wird eine Auswahl aus folgenden Themen behandelt:

  • Polare und Hesse-Kurven,
  • duale Kurven und Plückerformeln,
  • Linearsysteme und Divisoren auf ebenen Kurven,
  • reelle projektive Kurven,
  • Puiseux-Parametrisierungen ebener Kurvensingularitäten,
  • Invarianten ebener Kurvensingularitäten,
  • elliptische Kurven,
  • weitere Aspekte ebener algebraischer Kurven.

Kontaktzeit

2 SWS / 30 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Algebraische Strukturen"; weiterführende Kenntnisse aus den Lehrveranstaltungen "Einführung: Algebra" und "Einführung: Topologie" sind von Vorteil.

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Sommersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Plane Algebraic Curves (Vorlesung)
Plane Algebraic Curves (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Plane Algebraic Curves SS 19

Praktische Mathematik: Einführung in das symbolische Rechnen

Inhalte

  • Primzahltests und Faktorisierung ganzer Zahlen,
  • Polynomarithmetik (schnelle Polynommultiplikation, modulare ggT-Berechnung, Faktorisierung),
  • Moduln über Hauptidealringen (Struktursatz, Hermite- und Smith-Normalform),
  • Gröbnerbasen für Ideale und Moduln,
  • Gitter (Rationale Rekonstruktion, LLL-Algorithmus, Anwendung auf Polynomfaktorisierung).

Kontaktzeit

4 SWS / 60 h Vorlesung
2 SWS / 30 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung "Algebraische Strukturen"

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet jedes Sommersemester statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Einführung in das symbolische Rechnen (Vorlesung)
Einführung in das symbolische Rechnen (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK: Einführung in das symbolische Rechnen SS19

Quadratic Number Fields (Quadratische Zahlkörper)

Inhalte

  • Struktur imaginär quadratischer Zahlkörper,
  • Ideale und Idealklassengruppen,
  • Ideale als geometrische Gitter,
  • Endlichkeit der Klassengruppe.

Kontaktzeit

2 SWS / 30 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Algebraische Strukturen"; weiterführende Kenntnisse aus den Lehrveranstaltungen "Elementare Zahlentheorie" und "Einführung: Algebra" sind von Vorteil.

Angebotsturnus

Die Vorlesung findet unregelmäßig statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Quadratic Number Fields (Vorlesung)
Quadratic Number Fields (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Quadratic Number Fields SS 19

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