• Gruppen, Ringe, Körper (insbes.: symmetrische Gruppe)
• Unterstrukturen und Faktorstrukturen (insbes.: Normalteiler, Isomorphiesätze)
• Hauptidealringe: Z, Polynomring K[t] (insbes.: Euklidischer Algorithmus)

• Satz von Maschke,
• Charaktertafeln,
• Orthogonalitätsrelationen,
• Rationalitätsfragen,
• Satz von Burnside,
• induzierte Charaktere,
• Frobeniusgruppen.

Symmetrische Kryptosysteme (SKC):

• Strom- und Blockchiffren,
• Häufigkeitsanalyse,
• Moderne Chiffren.

Asymmetrische Kryptosysteme (PKC):

• Faktorisierungsproblem großer Zahlen, RSA,
• Primzahltests,
• Diskreter Logarithmus, Diffie-Hellman Schlüsselaustausch, El-Gamal Verschlüsselung, Hashfunktionen, Signatur,
• Kryptographie auf elliptischen Kurven (ECC),
• Attacken auf das diskrete Logarithmus-Problem,
• Faktorisierungsalgorithmen (z.B. Quadratisches Sieb, Pollard ρ, Lenstra).

• Differentialgleichungen erster Ordnung: Autonome Differentialgleichungen erster Ordnung, Variation der Konstanten, explizit lösbare Fälle, Anfangswertprobleme,
• Existenz und Eindeutigkeit: Funktionalanalytische Grundlagen, Banachscher Fixpunktsatz, Satz von Picard-Lindelöf, Fortsetzbarkeit von Lösungen, Existenzsatz von Peano,
• Qualitatives Verhalten: Lemma von Gronwall, Stetige Abhängigleit von den Daten, Ober- und Unterfunktionen,
• Lineare Differentialgleichungen: Homogene lineare Systeme, Matrix-Exponentialfunktion, Variation der Konstanten, Differentialgleichungen n-ter Ordnung,
• Stabilität: Dynamische Systeme, Phasenraum, Hamiltonsche Systeme, Asymptotisches Verhalten, Stabilitätstheorie nach Lyapunov.

Der Kurs soll die fundamentalen Konzepte einer modernen Programmiersprache vermitteln, insbesondere in der Anwendung des Wissenschaftlichen Rechnens; dies geschieht unter Verwendung von Python, MATLAB sowie Git zur Versionsverwaltung. Im Vordergrund soll daher die Behandlung mathematischer Fragestellungen, insbesondere das Lösen numerischer Probleme und der dazu verwendeten Programmiertechniken stehen. Das Erlernen strukturierter Problemlösungsstrategienist ein zentraler und wichtiger Bestandteil.

• Mengentheoretische Topologie: Topologische Räume und stetige Abbildungen, Zusammenhang, Trennungsaxiome, Kompaktheit, Konstruktionen (insbes. Produkte, Quotienten)
• Homotopie von Abbildungen
• Fundamentalgruppe

• Eindeutige Primzerlegung in Z, lineare diophantische Gleichungen,
• Eulersche phi-Funktion, Struktur von (Z/nZ)*,
• Gaußsches Reziprozitätsgesetz,
• Quadratische Zahlkörper, Zerlegungsverhalten von Primzahlen, Summen von Quadraten.

• Satz von Hahn-Banach und Anwendungen
• Baire'scher Kategoriensatz und Anwendungen (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit,  Satz von Banach-Steinhaus, Satz von der offenen Abbildung, Satz der inversen Abbildung, Satz vom abgeschlossenen Graphen)
• schwache Konvergenz (Satz von Banach-Alaoglu, reflexive Banach-Räume, Lemma von Mazur und Anwendungen)
• Projektionen (Satz vom abgeschlossenen Komplement)
• beschränkte Operatoren (adjungierte Operatoren, Spektrum, Resolvente, normale Operatoren);
• kompakte Operatoren (Fredholm-Operatoren, Fredholm-Alternative und Anwendungen, Spektralsatz (Riesz-Schauder) und Anwendungen auf normale Operatoren).

Inhalt

• In dieser lehramtsspezifischen Veranstaltung soll ein vertieftes, über die Schulbildung hinaus gehendes Verständnis geometrischer Inhalte erarbeitet werden. Der Bezug zur Schulmathematik soll erkennbar sein, wir wollen uns den verschiedenen Themen jedoch von einer etwas anderen Perspektive nähern.
• Wir werden uns mit unterschiedlichen Themengebieten und ausgewählten Fragestellungen aus dem großen Bereich der Geometrie befassen.
  Stichpunkte zu den Inhalten: Euklid und die "Elemente", axiomatischer Aufbau der Geometrie nach Hilbert, Axiomensysteme und Modelle, endliche Inzidenzgeometrien, Symmetrie, Kongruenzabbildungen, geometrische Aspekte linearer Abbildungen (Drehungen, Spiegelungen, Scherungen, ...), Polyeder, Platonische Körper, Eulersche Polyederformel, Geometrie in der linearen und ganzzahligen Optimierung, Voronoi-Diagramme, Standortprobleme, besondere Punkte und Linien im Dreieck (Fermatpunkt, Eulergerade und Neunpunktekreis, ...), Pythagoräische Zahlentripel, Kegelschnitte, Einblicke in Grundideen und Überblick über weitere Teilgebiete der Geometrie (Projektive Geometrie, algebraischen Geometrie, Nicht-Euklidische Geometrien).

Dozentin

Dr. Florentine Kämmerer

Termin

Freitag, 10:00 - 11:30 Uhr in 48-582

Übungen

Anmeldung und Zuteilung zu Übungen erfolgt über das URM

Materialien und Information

OpenOLAT

Es werden die grundlegenden Konzepte der Finanzmathematik in diskreter Zeit behandelt:

• Ein-Perioden-Modell
• Stochastische Modellierung von Finanzmärkten
• Risikoneutrale Bewertung
• Fundamentalsätze der Preistheorie

• Reelle und komplexe Zahlen,
• Folgen, Grenzwerte und Reihen,
• Potenzreihen,
• elementare Funktionen,
• Stetigkeit und Differenziation im eindimensionalen Fall,
• Integration im eindimensionalen Fall,
• Vektorräume,
• Lineare Abbildungen, Matrizen und lineare Gleichungssysteme.

Inhalt

Diese Vorlesung baut auf Grundlagen der Mathematik 1 auf. Die Themen umfassen unter anderem:

• Metrische Räume
• Kompaktheit
• Differential- und Integralrechnung mit Funktionen mehrerer Veränderlicher
• Euklidsche Vektorräume
• Eigenwerte und Normalformen von Matrizen

Dozent und Mitarbeiter

Prof. Dr. Sven Krumke

Oliver Bachtler

Termin

Dienstag, 12:00 - 13:30 Uhr in 24-102 (NEU!)

Donnerstag, 12:00 - 13:30 Uhr in 24-102

Freitag, 10:00 - 11:30 Uhr in 24-102 (NEU!)

Übungen

Anmeldung und Zuteilung zu Übungen erfolgt über das URM.

Materialien

OpenOLAT

• Perceptrons and separation theorems
• Optimal perceptrons and support vectors
• Kernel methods
• Feedforward networks and backpropagation
• Recurrent networks, Hopfield networks
• Capacity and basics of learning theory

Inhalt

• Sie als teilnehmende Lehramtsstudierende sollen Einblicke in aktuelle mathematische Gebiete aus der angewandten und reinen Mathematik erhalten und deren praktische Relevanz sowie aktuelle Entwicklungen und Anwendungen kennenlernen. Dabei sollen Bezüge zu Ihrer späteren Arbeit als Lehrerinnen und Lehrer hergestellt werden.
• Mit den in diesem Semester ausgewählten Themen "Mathematische Modelle für Klima und Wetter" sowie "Matroide - Theorie und Anwendungen" versuchen wir ein breites Spektrum an verschiedenen Inhalten, Methoden und Anwendungsbereichen der Mathematik abzudecken.
  Wir möchten vielseitige Aspekte der Mathematik beleuchten, von der Mächtigkeit der mathematischen Werkzeuge und Algorithmen bei der Beschreibung und Vorhersage vieler Vorgänge in der Natur, wie bei Klimawandel und Wettersimulation, bis hin zur Schönheit der Abstraktion in der Mathematik, welche einem unerwartete Zusammenhänge und Querverbindungen zwischen zunächst völlig unterschiedlich erscheinenden Bereichen eröffnen kann.

Dozent und Mitarbeiter

Prof. Dr. Bernd Simeon

Dr. Florentine Kämmerer

Termin

Montag, 16:00 - 17:30 Uhr in 48-208
Dienstag, 16:00 - 17:30 Uhr in 11-205
Mittwoch, 16:00-17:30 Uhr in 48-208

Anmeldung

Anmeldung zur Lehrveranstaltung erfolgt über das URM. Vorherige Registrierung im URM erforderlich.

Materialien

OpenOLAT

Inhalt

Nichtlineare Optimierungsprobleme sind Optimierungsprobleme, bei denen die Zielfunktion oder / und die Nebenbedingungen nichtlinear sind. Solche Probleme, die sich in einer Vielzahl von Anwendungen ergeben, können nicht mit aus der linearen Optimierung bekannten Verfahren gelöst werden. Diese Vorlesung behandelt theoretische Hintergründe und algorithmische Ansätze zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme - sowohl mit als auch ohne Nebenbedingungen.
Unter anderem werden folgende Themen behandelt:

• eindimensionale und mehrdimensionale Suche
• Newton- und Quasi-Newton Verfahren
• Konvexe Analysis und Trennungssätze
• Optimalitätsbedingungen für konvexe Probleme
• Optimalitätsbedingungen für allgemeine Probleme
• Penalty- und Barriere-Verfahren
• SQP-Verfahren

Dozent und Mitarbeiter

Dr. Nicolas Fröhlich

Dr. Tobias Dietz

Termin

Montag, 08:00 - 09:30 in 48-208

Mittwoch, 10:00 - 11:30 in 48-208

Übungen

Dienstag, 08:00 - 09:30 in 48-582

Freitag, 08:00 - 09:30 in 48-438

Materialien

OpenOLAT (Standard-Zugang des Fachbereichs)

URM (Übungsanmeldung)

Verpflichtende Inhalte:

• affine und projektive Räume, insbesondere die projektive Gerade und die projektive Ebene,
• ebene algebraische Kurven über den komplexen Zahlen,
• glatte und singuläre Punkte,
• der Satz von Bézout für projektive ebene Kurven,
• das topologische Geschlecht einer Kurve und die Geschlechts-Formel,
• rationale Abbildungen zwischen ebenen Kurven und die Riemann-Hurwitz-Formel.

Zudem wird eine Auswahl aus folgenden Themen behandelt:

• Polare und Hesse-Kurven,
• duale Kurven und Plückerformeln,
• Linearsysteme und Divisoren auf ebenen Kurven,
• reelle projektive Kurven,
• Puiseux-Parametrisierungen ebener Kurvensingularitäten,
• Invarianten ebener Kurvensingularitäten,
• elliptische Kurven,
• weitere Aspekte ebener algebraischer Kurven.

• Primzahltests und Faktorisierung ganzer Zahlen,
• Polynomarithmetik (schnelle Polynommultiplikation, modulare ggT-Berechnung, Faktorisierung),
• Moduln über Hauptidealringen (Struktursatz, Hermite- und Smith-Normalform),
• Gröbnerbasen für Ideale und Moduln,
• Gitter (Rationale Rekonstruktion, LLL-Algorithmus, Anwendung auf Polynomfaktorisierung).

Inhalt

Probleme der Linearen Optimierung beschäftigen sich mit der Optimierung linearer Zielfunktionen über einer polyedrischen Menge. Die Methoden ermöglichen das Modellieren und Lösen vieler praxisrelevanter Probleme (z.B. in der Produktionsplanung oder Telekommunikation). Unter anderem werden in diesem Teil der Vorlesung die folgenden Themen behandelt:

• Modellierung mit linearen Programmen
• der Fundamentalsatz der Linearen Optimierung
• Dualität
• Lösung linearer Programme mithilfe des Simplex- und Innere-Punkte-Verfahrens

Fragestellungen aus dem Bereich der Netzwerkoptimierung liegt ein Netzwerk oder Graph zugrunde. Eine große Zahl von realen Probleme (wie z.B. Routenplanung) lassen sich mit Hilfe eines Graphs modellieren. In diesem Teil der Vorlesung werden klassische Fragestellungen auf Netzwerken eingeführt und theoretische Konzepte sowie Lösungsalgorithmen vorgestellt. Die folgenden Probleme werden dabei unter anderem behandelt:

• Spannende-Baum-Probleme
• Kürzeste-Wege-Probleme
• Maximale-Fluss-Probleme
• Minimale-Kosten-Fluss-Probleme

Dozentin und Dozent, Mitarbeiter

Prof. Dr. Anita Schöbel
Prof. Dr. Stefan Ruzika

Kathrin Prinz
Meiko Volz

Termin

Dienstag, 08:00 - 09:30 in 48-208
Donnerstag, 14:00 - 15:30 in 48-208

Übungen

Montag, 10:00 - 11:30 in 48-380
Montag, 14:00 - 15:30 in 48-582
Dienstag, 12:00 - 13:30 in 44-465
Dienstag, 16:00 - 17:30 in 46-268

Materialien

OpenOLAT

Inhalte

• Wir werden uns eines vertieften, über die Schulbildung hinausgehendes Verständnisses elementarmathematischer, teils schulmathematischer, Inhalte als solides Fundament für das weitere Lehramtsstudium erarbeiten.
• Sie als Teilnehmende übernehmen die Aufbereitung, Präsentation und Vermittlung eines bestimmten mathematischen Themengebietes der Elementarmathematik an die gesamte Gruppe.
• Wir werden unterschiedliche Fragestellungen, u. a. aus den Bereichen Zahlen, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Graphentheorie, linearer Algebra und Analysis, behandeln.

Dozentin

Dr. Florentine Kämmerer

Anmeldung

Anmeldung über URM erforderlich.

Termin

Mittwoch, 12.00 - 13.30 in 48-538

Materialien und Information

OpenOlat

• Struktur imaginär quadratischer Zahlkörper,
• Ideale und Idealklassengruppen,
• Ideale als geometrische Gitter,
• Endlichkeit der Klassengruppe.

• Lineare Regressionsmodelle
• Kleinste-Quadrate- und Maximum-Likelihood-Schätzer
• Konfidenzbänder für Regressionskurven
• Tests für Regressionsparameter (t- und F-Tests), Likelihood-Quotienten-Tests
• Modellvalidierung mit Residuenanalyse
• Datenadaptive Modellwahl (stepwise regression, R² und Mallows C_p)
• Varianzanalyse (ANOVA)
• Stationäre stochastische Prozesse in diskreter Zeit
• Autokovarianzen, Spektralmaß und Spektraldichte
• Lineare Prozesse, insbesondere ARMA-Modelle
• Schätzer für ARMA-Parameter (Yule-Walker, Kleinste Quadrate, CML)
• Datenadaptive Modellwahl mit AIC, BIC und FPE
• Zeitreihen mit Trend oder Saisonalität (SARIMA)
• Vorhersage von Zeitreihen

Die Vorlesung führt ein in die Integration von skalaren und vektoriellen Funktionen über Kurven und Flächen. Grundlegende Sätze, wie die Green'schen Formeln und die Sätze von Gauss und Stokes werden gezeigt. Inhalte der Vorlesung sind

• Parametrisierung von Kurven und (skalare und vektorielle) Kurvenintegrale
• Parametrisierung von Flächen und (skalare und vektorielle) Oberglächenintegrale
• Mannigfaltigkeiten und Tangentialräume, Differentiale differenzierbarer Abbildungen
• klassische Differentialoperatoren: div, grad, rot, Laplace
• Green'sche Formeln, Satz von Gauss, Satz von Stokes
• Anwendungen in der Physik