• Gruppen, Ringe, Körper (insbes.: symmetrische Gruppe)
• Unterstrukturen und Faktorstrukturen (insbes.: Normalteiler, Isomorphiesätze)
• Hauptidealringe: Z, Polynomring K[t] (insbes.: Euklidischer Algorithmus)

• Differentialgleichungen erster Ordnung: Autonome Differentialgleichungen erster Ordnung, Variation der Konstanten, explizit lösbare Fälle, Anfangswertprobleme,
• Existenz und Eindeutigkeit: Funktionalanalytische Grundlagen, Banachscher Fixpunktsatz, Satz von Picard-Lindelöf, Fortsetzbarkeit von Lösungen, Existenzsatz von Peano,
• Qualitatives Verhalten: Lemma von Gronwall, Stetige Abhängigleit von den Daten, Ober- und Unterfunktionen,
• Lineare Differentialgleichungen: Homogene lineare Systeme, Matrix-Exponentialfunktion, Variation der Konstanten, Differentialgleichungen n-ter Ordnung,
• Stabilität: Dynamische Systeme, Phasenraum, Hamiltonsche Systeme, Asymptotisches Verhalten, Stabilitätstheorie nach Lyapunov.

Der Kurs soll die fundamentalen Konzepte einer modernen Programmiersprache vermitteln, insbesondere in der Anwendung des Wissenschaftlichen Rechnens; dies geschieht unter Verwendung von Python, MATLAB sowie Git zur Versionsverwaltung. Im Vordergrund soll daher die Behandlung mathematischer Fragestellungen, insbesondere das Lösen numerischer Probleme und der dazu verwendeten Programmiertechniken stehen. Das Erlernen strukturierter Problemlösungsstrategienist ein zentraler und wichtiger Bestandteil.

• Satz von Hahn-Banach und Anwendungen
• Baire'scher Kategoriensatz und Anwendungen (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit,  Satz von Banach-Steinhaus, Satz von der offenen Abbildung, Satz der inversen Abbildung, Satz vom abgeschlossenen Graphen)
• schwache Konvergenz (Satz von Banach-Alaoglu, reflexive Banach-Räume, Lemma von Mazur und Anwendungen)
• Projektionen (Satz vom abgeschlossenen Komplement)
• beschränkte Operatoren (adjungierte Operatoren, Spektrum, Resolvente, normale Operatoren);
• kompakte Operatoren (Fredholm-Operatoren, Fredholm-Alternative und Anwendungen, Spektralsatz (Riesz-Schauder) und Anwendungen auf normale Operatoren).

Es werden die grundlegenden Konzepte der Finanzmathematik in diskreter Zeit behandelt:

• Ein-Perioden-Modell
• Stochastische Modellierung von Finanzmärkten
• Risikoneutrale Bewertung
• Fundamentalsätze der Preistheorie

• Reelle und komplexe Zahlen,
• Folgen, Grenzwerte und Reihen,
• Potenzreihen,
• elementare Funktionen,
• Stetigkeit und Differenziation im eindimensionalen Fall,
• Integration im eindimensionalen Fall,
• Vektorräume,
• Lineare Abbildungen, Matrizen und lineare Gleichungssysteme.

• Perceptrons and separation theorems
• Optimal perceptrons and support vectors
• Kernel methods
• Feedforward networks and backpropagation
• Recurrent networks, Hopfield networks
• Capacity and basics of learning theory

Die Vorlesung führt ein in die Integration von skalaren und vektoriellen Funktionen über Kurven und Flächen. Grundlegende Sätze, wie die Green'schen Formeln und die Sätze von Gauss und Stokes werden gezeigt. Inhalte der Vorlesung sind

• Parametrisierung von Kurven und (skalare und vektorielle) Kurvenintegrale
• Parametrisierung von Flächen und (skalare und vektorielle) Oberglächenintegrale
• Mannigfaltigkeiten und Tangentialräume, Differentiale differenzierbarer Abbildungen
• klassische Differentialoperatoren: div, grad, rot, Laplace
• Green'sche Formeln, Satz von Gauss, Satz von Stokes
• Anwendungen in der Physik