• globale Körper,
• Moduln über Dedekindbereichen,
• Bewertungen und Vervollständigungen,
• Ganzheit und Ordnungen.

Single species models in continuous time:

• Population growth models: Malthus, habitat variability, Verhulst, contest and scramble, generalist predation.
• Elementary bifurcations and catastrophes (example: insect outbreak), harvesting.
• Spatial spread of a single population, traveling waves, and similarity solutions.

Multispecies models in continuous time:

• Lotka-Volterra models (predator-prey, competition, symbiosis).
• Enzyme kinetics, inner and outer solutions, asymptotic methods.
• Turing pattern formation, animal coat patterns.
• Invariant sets.
• Spatial spread of populations: reaction-diffusion equations, traveling waves, taxis, models for tumor growth and invasion.

Kinetic transport equations: multiscale modeling, upscaling, method of moments.

• Examples: Brain tumors and their spread in anisotropic tissues,  animal movement on path networks.

Kategorientheorie ist die „Grammatik“ der mathematischen Sprache.  Vieles davon verinnerlicht man während des Mathematikstudiums nebenbei ohne es zu merken.

Ziel dieser Vorlesung ist es, bewusst den Blick auf diese inneren Strukturen in der Mathematik zu richten. Das Konzept ist weniger auf eine tiefe Spezialisierung ausgerichtet als vielmehr auf eine breite Einführung in die Theorie. Es geht darum, eine Vorstellung von der Bandbreite der kategoriellen Sprache zu bekommen, viele Beispiele kennen zu lernen und vertraute Konzepte ("injektiv", "Kern", etc.) aus einem neuen Blickwinkel zu sehen. 

• Kategorien, Funktoren, natürliche Transformationen,
• Dualität, Yoneda Lemma,
• Universelle Konstruktionen, Produkte, Limiten,
• Adjungierte Funktoren,
• Abelsche Kategorien, Kerne, Kokerne, exakte Sequenzen.

• Satz von Maschke,
• Charaktertafeln,
• Orthogonalitätsrelationen,
• Rationalitätsfragen,
• Satz von Burnside,
• induzierte Charaktere,
• Frobeniusgruppen.

Symmetrische Kryptosysteme (SKC):

• Strom- und Blockchiffren,
• Häufigkeitsanalyse,
• Moderne Chiffren.

Asymmetrische Kryptosysteme (PKC):

• Faktorisierungsproblem großer Zahlen, RSA,
• Primzahltests,
• Diskreter Logarithmus, Diffie-Hellman Schlüsselaustausch, El-Gamal Verschlüsselung, Hashfunktionen, Signatur,
• Kryptographie auf elliptischen Kurven (ECC),
• Attacken auf das diskrete Logarithmus-Problem,
• Faktorisierungsalgorithmen (z.B. Quadratisches Sieb, Pollard ρ, Lenstra).

• Grundlagen der stochastischen Analysis (Brownsche Bewegung, Itô-Integral, Itô-Formel, Martingaldarstellungssatz, Satz von Girsanov, lineare stochastische Differentialgleichungen, Satz von Feynman und Kac)
• Diffusionsmodell für Aktienpreise und Handelsstrategien
• Vollständigkeit des Marktes
• Optionsbewertung nach dem Duplikationsprinzip, Black-Scholes-Formel
• Optionsbewertung und partielle Differentialgleichungen
• Exotische Optionen
• Arbitragegrenzen (Put-Call-Parität, Parität der Preise für europäische und amerikanische Calls)

Statistics of Financial Markets:

• Modelle und Schätzverfahren für Finanzzeitreihen (ARCH, GARCH und Verallgemeinerungen), Value-at-Risk

• Copulas und ihre Anwendung im Risikomanagement auf der Grundlage multivariater Daten

Extreme Value Theory:

• Statistische Verfahren zum Schätzen der Wahrscheinlichkeit extremer Ereignisse bzw. von extremen Quantilen

• Satz von Hahn-Banach und Anwendungen
• Baire'scher Kategoriensatz und Anwendungen (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit,  Satz von Banach-Steinhaus, Satz von der offenen Abbildung, Satz der inversen Abbildung, Satz vom abgeschlossenen Graphen)
• schwache Konvergenz (Satz von Banach-Alaoglu, reflexive Banach-Räume, Lemma von Mazur und Anwendungen)
• Projektionen (Satz vom abgeschlossenen Komplement)
• beschränkte Operatoren (adjungierte Operatoren, Spektrum, Resolvente, normale Operatoren);
• kompakte Operatoren (Fredholm-Operatoren, Fredholm-Alternative und Anwendungen, Spektralsatz (Riesz-Schauder) und Anwendungen auf normale Operatoren).

• Perceptrons and separation theorems
• Optimal perceptrons and support vectors
• Kernel methods
• Feedforward networks and backpropagation
• Recurrent networks, Hopfield networks
• Capacity and basics of learning theory

• Elementare Finanzmathematik (Zinsrechnung)
• Sterblichkeit
• Versicherungsleistungen
• Nettoprämien und Nettodeckungskapital
• Einbeziehung der Kosten
• Versicherung auf verbundene Leben
• Verschiedene Ausscheideursachen

Monte-Carlo-Algorithmen sind Algorithmen, die den Zufall benutzen. Die Vorlesung gibt eine Einführung in diese wichtige algorithmische Grundtechnik der Mathematik und Informatik. Behandelt werden die Themen:

• Direkte Simulation,
• Simulation von Verteilungen,
• Varianzreduktion,
• Markov-Chain-Monte-Carlo-Algorithmen,
• Hochdimensionale Integration,
• Was sind Zufallszahlen?

sowie Anwendungen in der Physik und der Finanz- und Versicherungsmathematik

Inhalte

• Mathematische Modellierung mit mehreren Zielfunktionen
• Ordnungen und Optimalitätsbegriffe
• Charakterisierung von effizienten Lösungen und nicht-dominierten Punkten
• Skalarisierungsmethoden und Approximationsalgorithmen
• Multikriterielle lineare Programme
• Multikriterielle kombinatorische Optimierungsprobleme

Dozent und Mitarbeiter

Prof. Dr. Stefan Ruzika
M. Sc. Nils Hausbrandt

Termin

Dienstag, 14.00 - 15.30 in 48-210
Donnerstag, 12.00 - 13.30 in 48-208

Übungen

Montag, 16.00 - 17.30 in 46-268
Freitag, 12.00 - 13.30 in 36-265

Voraussetzungen

Lineare und Netzwerkoptimierung, Ganzzahlige Optimierung

Informationen und Material

KIS
OpenOLAT

Inhalt

Nichtlineare Optimierungsprobleme sind Optimierungsprobleme, bei denen die Zielfunktion oder / und die Nebenbedingungen nichtlinear sind. Solche Probleme, die sich in einer Vielzahl von Anwendungen ergeben, können nicht mit aus der linearen Optimierung bekannten Verfahren gelöst werden. Diese Vorlesung behandelt theoretische Hintergründe und algorithmische Ansätze zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme - sowohl mit als auch ohne Nebenbedingungen.
Unter anderem werden folgende Themen behandelt:

• eindimensionale und mehrdimensionale Suche
• Newton- und Quasi-Newton Verfahren
• Konvexe Analysis und Trennungssätze
• Optimalitätsbedingungen für konvexe Probleme
• Optimalitätsbedingungen für allgemeine Probleme
• Penalty- und Barriere-Verfahren
• SQP-Verfahren

Dozent und Mitarbeiter

Dr. Nicolas Fröhlich

Dr. Tobias Dietz

Termin

Montag, 08:00 - 09:30 in 48-208

Mittwoch, 10:00 - 11:30 in 48-208

Übungen

Dienstag, 08:00 - 09:30 in 48-582

Freitag, 08:00 - 09:30 in 48-438

Materialien

OpenOLAT (Standard-Zugang des Fachbereichs)

URM (Übungsanmeldung)

Zur Beschreibung von realen Prozessen werden oft partielle Differentialgleichungen verwendet, die in der Regel nicht analytisch lösbar sind. Deshalb werden in dieser Vorlesung die mathematischen Techniken bereitgestellt und untersucht, die man zur numerischen Lösung dieser Gleichungen benötigt. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Diskretisierung von Randwertproblemen für elliptische Differentialgleichungen mittels Finite Differenzen oder Finite Elemente Methoden. Am Ende der Vorlesung werden diese Ideen dann auf parabolische Differentialgleichungen übertragen.

• Definitionen, Generatoren, Resolventen, Beispiele, •
• Hille-Yosida Theorem, Lumer-Phillips Theorem, •
• Kontraktions-Halbgruppen, Analytische Halbgruppen, Operator-Gruppen, •
• Approximationen, Störungen, •
• Anwendungen auf Partielle Differentialgleichungen (u.a. Wärmeleitungsgleichungen, Wellengleichungen, Schrödinger-Gleichungen).

Verpflichtende Inhalte:

• affine und projektive Räume, insbesondere die projektive Gerade und die projektive Ebene,
• ebene algebraische Kurven über den komplexen Zahlen,
• glatte und singuläre Punkte,
• der Satz von Bézout für projektive ebene Kurven,
• das topologische Geschlecht einer Kurve und die Geschlechts-Formel,
• rationale Abbildungen zwischen ebenen Kurven und die Riemann-Hurwitz-Formel.

Zudem wird eine Auswahl aus folgenden Themen behandelt:

• Polare und Hesse-Kurven,
• duale Kurven und Plückerformeln,
• Linearsysteme und Divisoren auf ebenen Kurven,
• reelle projektive Kurven,
• Puiseux-Parametrisierungen ebener Kurvensingularitäten,
• Invarianten ebener Kurvensingularitäten,
• elliptische Kurven,
• weitere Aspekte ebener algebraischer Kurven.

• Struktur imaginär quadratischer Zahlkörper,
• Ideale und Idealklassengruppen,
• Ideale als geometrische Gitter,
• Endlichkeit der Klassengruppe.

Spiegelungsgruppen sind allgegenwärtig in der Mathematik. Wir konzentrieren uns auf endliche Spiegelungsgruppen über einem Körper von Charakteristik Null und ihre

• zentralen Beispiele (u. a. symmetrische Gruppen),
• Strukturtheorie,
• Darstellungstheorie.

• Lineare Regressionsmodelle
• Kleinste-Quadrate- und Maximum-Likelihood-Schätzer
• Konfidenzbänder für Regressionskurven
• Tests für Regressionsparameter (t- und F-Tests), Likelihood-Quotienten-Tests
• Modellvalidierung mit Residuenanalyse
• Datenadaptive Modellwahl (stepwise regression, R² und Mallows C_p)
• Varianzanalyse (ANOVA)
• Stationäre stochastische Prozesse in diskreter Zeit
• Autokovarianzen, Spektralmaß und Spektraldichte
• Lineare Prozesse, insbesondere ARMA-Modelle
• Schätzer für ARMA-Parameter (Yule-Walker, Kleinste Quadrate, CML)
• Datenadaptive Modellwahl mit AIC, BIC und FPE
• Zeitreihen mit Trend oder Saisonalität (SARIMA)
• Vorhersage von Zeitreihen

• Potenzreihen, Sätze von Weierstraß,
• Analytische Algebren,
• Elementare Theorie kohärenter Garben,
• Komplexe Raumkeime,
• Lokaler Endlichkeitssatz für Morphismen,
• Invarianten von Hyperflächensingularitäten,
• Endliche Bestimmtheit,
• Deformationstheorie vollständiger Durchschnitte,
• Klassifikation der einfachen Hyperflächensingularitäten.

• Räumliche Punktprozesse (im R² und R³)
• Punktprozessmodelle (Poissonprozess, Hard-Core- und Clusterprozesse, Gibbs-Prozesse) und ihre Simulation
• Statistische Methoden für Punktprozesse
• Markierte Punktprozesse und Partikelprozesse