Computational Stochastics Group

Die Arbeitsgruppe Computational Stochastics ist eine der vier Gruppen, die im Rahmen der Mathematik-Initiative neu am Fachbereich eingerichtet wurden. Wir beschäftigen uns allgemein gesprochen mit algorithmischen Fragestellungen, die in der Stochastik auftreten oder mit Methoden der Stochastik effizient gelöst werden können.

Ein elementares Beispiel aus der diskreten Mathematik ist die Berechnung von Erfolgswahrscheinlichkeiten für Spielstrategien. Für eine Strategie beim Patience-Spiel lässt sich diese Wahrscheinlichkeit prinzipiell elementar, d.h. durch Abzählen über alle Permutationen der Spielkarten bestimmen, was aber praktisch an der Anzahl der Permutationen scheitert. Es liegt nahe (und findet seine mathematische Begründung im Starken Gesetz der Großen Zahlen), stattdessen zufällig (genauer, unabhängig bezüglich der Gleichverteilung) Permutationen zu erzeugen, und dann den relativen Anteil der Permutationen, für die die Strategie erfolgreich war, als Näherung für die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu verwenden. Diese Idee des Mathematikers Stan Ulam, die im Jahr 1946 im Kontext physikalischer Fragestellungen bei der Entwicklung von Nuklearwaffen entstand, ist einer der Ausgangspunkte für die Entwicklung der sogenannten Monte Carlo-Methode, bei der Zufallszahlengeneratoren zur stochastischen Simulation verwendet werden.  Wir verweisen auf einen Stanislaw Ulam gewidmeten Sonderband der Zeitschrift Los Alamos Science und auf das Lehrbuch Monte Carlo-Algorithmen.

Tatsächlich studieren wir Fragen, die der kontinuierlichen Mathematik entstammen, insbesondere die Approximation der Lösungen sogenannter stochastischer (partieller) Differentialgleichungen. Diese Gleichungen dienen der Modellierung einer zeit-kontinuierlichen zufälligen Dynamik und treten in ganz unterschiedlichen Anwendungsbereichen wie Finanzmathematik oder Strömungsdynamik auf. Wir untersuchen die Frage, wie man Raum, Zeit und den Zufall zu diskretisieren hat, um möglichst schnell gute Näherungslösungen berechnen zu können.

Ein spezieller Aspekt unserer Forschung ist die Komplexität, also die prinzipiellen Schwierigkeit, algorithmischer Probleme. Im Idealfall konstruiert und analysiert man für eine gegebene Fragestellung einen neuen Algorithmus und beweist zugleich, dass kein anderer Algorithmus (wesentlich) besser sein kann.

Die oben genannten Stichworte stochastische Differentialgleichung, Diskretisierung, etc. weisen auf verwandte Arbeitsgebiete hin, die am hiesigen Fachbereich vertreten sind. Zu nennen sind hier die Stochastische Analysis, die Finanzmathematik, und die Numerik und Approximationstheorie in Bildverarbeitung, Geomathematik und Technomathematik.

 

 

 

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