Functional Analysis and Stochastic Analysis Group


General information

Listed below are the courses and lectures provided by our group during summer term 2020.

If you are interested to attend a reading course this term, or if you wish to write a thesis within our group, please feel free to contact your favoured supervisor in person or by e-mail.

Important links

  • KIS: dates of lectures and tutorials
  • URM: registration for tutorials
  • OpenOLAT: course materials and further information (access codes are made available in the first lecture)

Lectures in summer term 2022

Our work group offers the following lectures during summer term 2022:

Functional Analysis

Content

  • Hahn-Banach theorem and its applications
  • Baire category theorem and its applications (uniform boundedness principle, Banach-Steinhaus theorem, open mapping theorem, inverse mapping theorem, closed graph theorem)
  • weak convergence (Banach-Alaoglu theorem, reflexive Banach spaces, lemma of Mazur and its applications)
  • projections (closed complement theorem)
  • bounded operators (adjoint operators, spectrum, resolvent, normal operators)
  • compact operators (Fredholm operators, Fredholm alternative and its applications, spectral theorem (Riesz-Schauder) and applications to normal operators)

contact time

4 SWS lecture
2 SWS exercise classes

substantive prerequisites

content of the introductory lecture "Einführung in die Funktionalanalysis" as well as concepts from "Maß- und Integrationstheorie"

Operator Semigroups and Applications to PDE

Content

  • Definitionen, Generatoren, Resolventen, Beispiele, 
  • Hille-Yosida Theorem, Lumer-Phillips Theorem, 
  • Kontraktions-Halbgruppen, Analytische Halbgruppen, Operator-Gruppen, 
  • Approximationen, Störungen, 
  • Anwendungen auf Partielle Differentialgleichungen (u.a. Wärmeleitungsgleichungen, Wellengleichungen, Schrödinger-Gleichungen).

contact time

4 SWS lecture
2 SWS exercise classes

substantive prerequisites

content of the lectures "Functional Analysis"

Höhere Mathematik I/II

Inhalte

  • Grundlegende Konzepte und Rechentechniken: Mengentheorie, Reelle und komplexe Zahlen (speziell kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten, Wurzeln komplexer Zahlen), Lösung von Gleichungen und Ungleichungen
     
  • Funktionen einer Variablen: Grundlegende Konzepte und elementare Funktionen, Stetigkeit, Symmetrie, Monotonie, Umkehrfunktionen, rationale Funktionen, Asymptoten, Folgen und Reihen (Grenzwertbegriff, Rechenregeln), Potenzreihen (Konvergenzverhalten und Rechnen mit Potenzreihen), Exponentialfunktion und Logarithmus, trigonometrische Funktionen
     
  • Differenziation (eindimensional): Definition von Grenzwerten und Bedeutung der Ableitung, Rechentechniken, implizite Ableitung, Mittelwertsatz, Extremwerte, Regel von de l’Hospital, Taylor-Entwicklung, Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen, Anwendungen (Fehlerabschätzung und Approximation)
     
  • Integration (eindimensional): Definites/Indefinites Integral (Stammfunktion, Riemann-Summe, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Mittelwertsatz), Integrationstechniken (Substitution, partielle Integration) Integration von Potenzreihen und rationalen Funktionen, Ideen der numerischen Integration, uneigentliche Integrale, verschiedene Anwendungen

Kontaktzeit

4 SWS Vorlesungen
2 SWS Hörsaalübung

Inhaltliche Voraussetzungen

Keine

Angebotsturnus

Die Veranstaltung findet jedes Semester statt.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Höhere Mathematik I (Vorlesung)
Höhere Mathematik I (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Höhere Mathematik I SS 22

Mathematik 1 für Chemiker*innen

Inhalte

  • Komplexe Zahlen
  • Vektoren
  • Vektorfunktionen
  • Funktionen mit mehreren Variablen
  • partielle Ableitungen
  • die totale Ableitung
  • Maxima und Minima für Funktionen von mehreren Veränderlichen
  • das Riemann Integral
  • das uneigentliche Integral
  • Vektorfelder
  • Kurvenintegral

Kontaktzeit

3 SWS / 45 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Zur Auffrischung der Kenntnisse in Schulmathematik wird der Besuch eines Studien-Vorkurses in Mathematik empfohlen.

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird in jedem Semester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Mathematik 1 für Chemiker (Vorlesung)
Mathematik 1 für Chemiker (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Mathematik 1 für Chemiker SS 2022

Mathematik 2 für Chemiker*innen

Inhalte

  • Lineare Algebra
  • Zweifachintegration
  • Dreifachintegration
  • Der Transformationssatz
  • Folgen
  • Potenzreihen
  • Fourierreihen
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen

Kontaktzeit

3 SWS / 45 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung "Mathematik 1 für Chemiker" aus dem Bachelorstudiengang Chemie

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird in jedem Semester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Mathematik 2 für Chemiker*innen (Vorlesung)
Mathematik 2 für Chemiker*innen (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

TUK Mathematik 2 für Chemiker*innen SS 2022

Mathematik 2 für Biophysiker*innen

Inhalte

  • Mehrfachintegration
  • Der Transformationssatz
  • Oberflächenintegrale
  • Der Satz von Stokes und Gauß
  • Reihen
  • Funktionenreihen
  • Potenzreihen
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen
  • Differentialgleichungssysteme
  • Partielle Differentialgleichungen

Kontaktzeit

2 SWS / 45 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung Mathematik 1 für Biophysiker*innen

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Sommersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Mathematik 2 für Biophysiker*innen (Vorlesung)
Mathematik 2 für Biophysiker*innen (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Mathematik 2 für Biophysiker*innen SS 2022

Reading Courses, Seminars and Proseminars in summerterm 2022

Our working group offeres following Reading Courses, Seminars and Proseminars in summerterm 2022:

Seminar: Analysis and partial differential equations

Content requirements: Introduction to functional analysis and functional analysis

Contact time: 2 SWS

Link to the OLAT-page:

https://olat.vcrp.de/auth/RepositoryEntry/3699837356

Lectures in Winter 2021

Our group offered the following lectures during winter term 2021/22:

Einführung in die Funktionalanalysis

Inhalte

  • Beispiele für Banachräume und Hilberträume
  • Kompaktheit, Heine-Borel, Arzelà-Ascoli
  • beschränkte lineare Operatoren, adjungierte Operatoren, Neuman-Reihe
  • Orthogonalität, Hilbertraum-Basis, Riesz-Darstellung, Lax-Milgram, selbstadjungierte Operatoren, Spektraltheorie

Kontaktzeit

2 SWS / 30 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen zum Modul "Grundlagen der Mathematik"

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Wintersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Einführung in die Funktionalanalysis (Vorlesung)
Einführung in die Funktionalanalysis (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Einführung in die Funktionalanalysis WS2021

White Noise Analysis

Content

  • Introduction to the basics of distribution theory with specific focus on tempered distributions
  • Construction of the White Noise space (Minlos theorem, chaos-decomposition, T-transform, S-transform, Ito-Wiener-Segal isomorphism)
  • Introduction of test function spaces and spaces of generalised functions of White Noise Analysis (Hida and Kondratiev spaces)
  • Applications to Feyman path integrals and stochastic PDE

contact time

4 SWS / 60 h lecture
2 SWS / 30 h exercise classes

substantive prerequisites

Content of the introductory lecture "Einführung in die Funktionalanalysis" and "Maß- und Integrationstheorie"

Mathematik 1 für Chemiker*innen

Inhalte

  • Komplexe Zahlen
  • Vektoren
  • Vektorfunktionen
  • Funktionen mit mehreren Variablen
  • partielle Ableitungen
  • die totale Ableitung
  • Maxima und Minima für Funktionen von mehreren Veränderlichen
  • das Riemann Integral
  • das uneigentliche Integral
  • Vektorfelder
  • Kurvenintegral

Kontaktzeit

3 SWS / 45 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Zur Auffrischung der Kenntnisse in Schulmathematik wird der Besuch eines Studien-Vorkurses in Mathematik empfohlen.

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird in jedem Semester angeboten.

 Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Mathematik 1 für Chemiker (Vorlesung)
Mathematik 1 für Chemiker (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Mathe Mathematik 1für Chemiker SS2021

Mathematik 2 für Chemiker*innen

Inhalte

  • Lineare Algebra
  • Zweifachintegration
  • Dreifachintegration
  • Der Transformationssatz
  • Folgen
  • Potenzreihen
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen
  • Differentialgleichungssysteme
  • Partielle Diffeentialgleichungen

Kontaktzeit

3 SWS / 45 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung "Mathematik 1 für Chemiker" aus dem Bachelorstudiengang Chemie

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird in jedem Semester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Mathematik 2 für Chemiker (Vorlesung)
Mathematik 2 für Chemiker (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

TUK Mathematik 2 für Chemiker WS2021

Mathematik 1 für Biophysiker*innen

Inhalte

  • Vektorfunktionen
  • Funktionen in mehreren Variablen
  • Partielle Ableitungen
  • Die totale Ableitung
  • Extrema bei Funktionen in mehreren Variablen
  • Extrema unter Nebenbedingungen
  • Das Kurvenintegral
  • Lineare Algebra
  • Krummlinige Koordinaten

Kontaktzeit

2 SWS / 45 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

keine

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Wintersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Mathematik 1 für Biophysiker (Vorlesung)
Mathematik 1 für Biophysiker (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Mathematik 1 für Biophysiker*innen WS2021

Sobolev Spaces

Content

The lecture is based on the script by Prof. Dr. Grothaus from the winter term 2018/19 which you can find in the course material folder or directly here.

  • Construction of Sobolev spaces,
  • Analysis in Sobolev spaces (convolutions, Dirac-sequences, partition of unity, dense sets of functions),
  • Applications to partial differential equations (Poincaré inequality, fundamental lemma of calculus of variations, weak formulations of boundary value problems),
  • Sobolev embeddings, trace operator,
  • Test functions and distributions,
  • Analysis in space of distributions (Fourier transform, differentiation, convolution),
  • Dual spaces of Sobolev spaces (Sobolev spaces of negative order),
  • Sobolev spaces of fractional order.

Contact time

4 SWS lectures

2 SWS exercises

Substantive pherequisites

None

External Resources

Reading Courses, Seminars and Proseminars in Winterterm 2021/22

Our working group offered following Reading Courses, Seminars and Proseminars in winter term 2021/22:

Seminar "Internetseminar Spectral Theory for Operators and Semigroups"

Lectures in Summer 2021

Our group offered the following lectures during summer term 2021:

Functional Analysis

Content

  • Hahn-Banach theorem and its applications
  • Baire category theorem and its applications (uniform boundedness principle, Banach-Steinhaus theorem, open mapping theorem, inverse mapping theorem, closed graph theorem)
  • weak convergence (Banach-Alaoglu theorem, reflexive Banach spaces, lemma of Mazur and its applications)
  • projections (closed complement theorem)
  • bounded operators (adjoint operators, spectrum, resolvent, normal operators)
  • compact operators (Fredholm operators, Fredholm alternative and its applications, spectral theorem (Riesz-Schauder) and applications to normal operators)

contact time

4 SWS lecture
2 SWS exercise classes

substantive prerequisites

content of the introductory lecture "Einführung in die Funktionalanalysis" as well as concepts from "Maß- und Integrationstheorie"

Introduction to the Theory of Dirichlet Forms

Content

  • resolvents, semigroups, generators (Theorem of Hille and Yosida),
  • coercive bilinear forms (Stampacchia theorem, characterisation by resolvents, semigroups, generators)
  • closed bilinear form,
  • contraction properties (Sub-Markov property, Dirichlet operators, Dirichlet forms).

contact time

4 SWS / 60 h lecture
2 SWS / 30 h exercise classes

substantive prerequisites

Content of the lecture "Functional Analysis"

Operator Semigroups and Applications to PDE

Content

  • Definitionen, Generatoren, Resolventen, Beispiele,
  • Hille-Yosida Theorem, Lumer-Phillips Theorem, 
  • Kontraktions-Halbgruppen, Analytische Halbgruppen, Operator-Gruppen,
  • Approximationen, Störungen,
  • Anwendungen auf Partielle Differentialgleichungen (u.a. Wärmeleitungsgleichungen, Wellengleichungen, Schrödinger-Gleichungen).

Contact time

4 SWS Vorlesung
2 SWS Übung

Substantive prerequesites

Lecture "Functional Analysis"

Mathematik 1 für Chemiker*innen

Inhalte

  • Komplexe Zahlen
  • Vektoren
  • Vektorfunktionen
  • Funktionen mit mehreren Variablen
  • partielle Ableitungen
  • die totale Ableitung
  • Maxima und Minima für Funktionen von mehreren Veränderlichen
  • das Riemann Integral
  • das uneigentliche Integral
  • Vektorfelder
  • Kurvenintegral

Kontaktzeit

3 SWS / 45 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Zur Auffrischung der Kenntnisse in Schulmathematik wird der Besuch eines Studien-Vorkurses in Mathematik empfohlen.

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird in jedem Semester angeboten.

 Hier geht es zum KIS-Eintrag:

Mathematik 1 für Chemiker (Vorlesung)
Mathematik 1 für Chemiker (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Mathe Mathematik 1für Chemiker SS2021

Mathematik 2 für Chemiker*innen

Inhalte

  • Lineare Algebra
  • Zweifachintegration
  • Dreifachintegration
  • Der Transformationssatz
  • Folgen
  • Potenzreihen
  • Fourierreihen
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen

Kontaktzeit

3 SWS / 45 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung "Mathematik 1 für Chemiker" aus dem Bachelorstudiengang Chemie

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird in jedem Semester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Mathematik 2 für Chemiker (Vorlesung)
Mathematik 2 für Chemiker (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

TUK Mathematik 2 für Chemiker SS21

Reading Courses, Seminars and Proseminars in summer

Our working group offered following Reading Courses, Seminars and Proseminars in summer term 2021:

Seminar "Analysis and Partial Differential Equations"

Reading Course "Analysis and Partial Differntial Equations"

Lectures in Winter 2020/21

Our group offered the following lectures during winter term 2020/21:

Probability Theory

Content

  • notions of convergence (in probability, almost surely, weak convergence, Lp-convergence, convergence in distribution)
  • characteristic functions
  • sums of independent random variables
  • strong law of large numbers, variants of the central limit theorem
  • conditional expectation
  • discrete time martingales
  • Brownian motion

contact time

4 SWS lecture
2 SWS exercise classes

substantive prerequisites

content of the lectures "Stochastische Methoden" and "Maß- und Integrationstheorie"

Seminars in Winter Semester 2020/21

Our group offered the following seminars during winter term 2020/21:

Internet Seminar C*-algebras and dynamics ISEM 24

Lectures in Summer Semester 2020

Our group offered the following lectures during summer term 2020:

Maß- und Integrationstheorie

Inhalte

  • Mengensysteme/-ringe (σ-Algebren)
  • Maße, Lebesgue-Maß
  • Satz von Carathéodory, Satz von Radon-Nikodým
  • messbare Funktionen, Approximationssatz
  • Lebesgue-Integral, Lp-Räume, Konvergenzsätze, Transformationssatz
  • Produktmaße, Satz von Fubini.

Kontaktzeit

2 SWS Vorlesung
1 SWS Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen „Grundlagen der Mathematik I+ II“

Functional Analysis

Content

  • Hahn-Banach theorem and its applications
  • Baire category theorem and its applications (uniform boundedness principle, Banach-Steinhaus theorem, open mapping theorem, inverse mapping theorem, closed graph theorem)
  • weak convergence (Banach-Alaoglu theorem, reflexive Banach spaces, lemma of Mazur and its applications)
  • projections (closed complement theorem)
  • bounded operators (adjoint operators, spectrum, resolvent, normal operators)
  • compact operators (Fredholm operators, Fredholm alternative and its applications, spectral theorem (Riesz-Schauder) and applications to normal operators)

contact time

4 SWS lecture
2 SWS exercise classes

substantive prerequisites

content of the introductory lecture "Einführung in die Funktionalanalysis" as well as concepts from "Maß- und Integrationstheorie"

Operator Semigroups and Applications to PDE

Content

  • Definitionen, Generatoren, Resolventen, Beispiele, 
  • Hille-Yosida Theorem, Lumer-Phillips Theorem, 
  • Kontraktions-Halbgruppen, Analytische Halbgruppen, Operator-Gruppen, 
  • Approximationen, Störungen, 
  • Anwendungen auf Partielle Differentialgleichungen (u.a. Wärmeleitungsgleichungen, Wellengleichungen, Schrödinger-Gleichungen).

contact time

4 SWS lecture
2 SWS exercise classes

substantive prerequisites

content of the lectures "Functional Analysis"

Seminars in summer

Our group offered the following seminars during summer term 2020:

Seminar Analysis and Partial Differential Equations

Lectures in winter 2019/20

Our group offered the following lectures during winter term 2019/20:

Einführung in die Funktionalanalysis

Inhalte

  • Beispiele für Banachräume und Hilberträume
  • Kompaktheit, Heine-Borel, Arzelà-Ascoli
  • beschränkte lineare Operatoren, adjungierte Operatoren, Neuman-Reihe
  • Orthogonalität, Hilbertraum-Basis, Riesz-Darstellung, Lax-Milgram, selbstadjungierte Operatoren, Spektraltheorie

Kontaktzeit

2 SWS / 30 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Grundlagen der Mathematik I + II"

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Wintersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Einführung in die Funktionalanalysis (Vorlesung)
Einführung in die Funktionalanalysis (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Einführung in die Funktionalanalysis WS 18/19

Probability Theory

Content

  • notions of convergence (in probability, almost surely, weak convergence, Lp-convergence, convergence in distribution)
  • characteristic functions
  • sums of independent random variables
  • strong law of large numbers, variants of the central limit theorem
  • conditional expectation
  • discrete time martingales
  • Brownian motion

contact time

4 SWS / 60 h lecture
2 SWS / 30 h exercise classes

substantive prerequisites

content of the lectures "Stochastische Methoden" and "Maß- und Integrationstheorie"

White Noise Analysis

Content

  • Introduction to the basics of distribution theory with specific focus on tempered distributions
  • Construction of the White Noise space (Minlos theorem, chaos-decomposition, T-transform, S-transform, Ito-Wiener-Segal isomorphism)
  • Introduction of test function spaces and spaces of generalised functions of White Noise Analysis (Hida and Kondratiev spaces)
  • Applications to Feyman path integrals and stochastic PDE

contact time

4 SWS / 60 h lecture
2 SWS / 30 h exercise classes

substantive prerequisites

Content of the introductory lecture "Einführung in die Funktionalanalysis" and "Maß- und Integrationstheorie"

Seminars in winter

Our group offered the following seminars during winter term 2018/19:

Potential Theory and Stochastic Analysis via Dirichlet forms

The seminar will take place on Tuesdays from 13:45 to 15:15 in room 48-519

First meeting: October 23, 2018

Content

In this seminar it is planned to start with developing some analytic potential theory of Dirichlet forms. We will consider so-called excessive functions and introduce an "intrinsic" notion of exceptional sets corresponding to Dirichlet forms. Having these tools in hand, we will focus on quasi-continuity of functions. Then we revisit the theory of Dirichlet forms from a probabilistic point of view. The goal is to explain how Dirichlet forms are associated properly with Markov processes. In order to do so, the notion of a quasi-regular Dirichlet form plays a crucial role. Providing a class of examples for the analytically and probabilistically studied objects will round off the seminar. It is planned to proceed along the contents of the first book from the list of references. The strength of the theory of Dirichlet forms is given by the fact that this mathematical tool is situated in a vast interdisciplinary area which includes analysis and probability theory. Therefore, applications can be found in research areas like Partial Differential Equations, Mathematical Physics (Quantum (Field) Theory, Statistical Physics), Stochastic (Partial) Differential Equations and Stochastic Analysis. Historically, its roots are in the interplay between ideas of analysis (calculus of variations, boundary value problems, potential theory) and probability theory (Brownian motion, stochastic processes, martingale theory).

Literature

  • Z.-M. Ma und M. Röckner, Introduction to the Theory of (Non-Symmetric) Dirichlet Forms, Springer, Berlin, 1992
  • M. Fukushima, Dirichlet Forms and Markov Processes, North-Holland, Amsterdam, Oxford, New York, 1980; 
  • M. Reed und B. Simon, Functional Analysis I and II, Academic Press, 1975.

Prerequisite

Lecture 'Functional Analysis'

Performance record

Certificate for presentation of a talk

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