AG Funktionalanalysis und stochastische Analysis


Allgemeine Informationen

Unten sind die Vorlesungen aufgelistet, die unsere Arbeitsgruppe im Wintersemester 2019/20 anbietet.

Wenn Sie an einem Reading Course teilnehmen oder eine Abschlussarbeit in unserer Arbeitsgruppe schreiben möchten, setzen Sie sich einfach direkt per Mail oder persönlich mit dem entsprechenden Betreuer in Verbindung.

Wichtige Links

  • KIS: Termine der Veranstaltungen
  • URM: Anmeldung zu Übungen (offen bis 18. April 2019)
  • OpenOLAT: Kursmaterialien und weitere Informationen (Zugangscodes erhalten Sie in der ersten Vorlesung)

Vorlesungen im Wintersemester

Unsere Arbeitsgruppe bietet im Wintersemester 2019/20 folgende Vorlesungen an:

Einführung in die Funktionalanalysis

Inhalte

  • Beispiele für Banachräume und Hilberträume
  • Kompaktheit, Heine-Borel, Arzelà-Ascoli
  • beschränkte lineare Operatoren, adjungierte Operatoren, Neuman-Reihe
  • Orthogonalität, Hilbertraum-Basis, Riesz-Darstellung, Lax-Milgram, selbstadjungierte Operatoren, Spektraltheorie

Kontaktzeit

2 SWS / 30 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Grundlagen der Mathematik I + II"

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Wintersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Einführung in die Funktionalanalysis (Vorlesung)
Einführung in die Funktionalanalysis (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Einführung in die Funktionalanalysis WS 19/20

Probability Theory

Inhalte

  • Konvergenzbegriffe (in Wahrscheinlichkeit, fast sicher, schwache Konvergenz, Lp-Konvergenz, Konvergenz in Verteilung)
  • charakteristische Funktionen
  • Summen unabhängiger Zufallsvariablen
  • Starkes Gesetz der Großen Zahlen, Zentrale Grenzwertsätze
  • Bedingte Erwartungswerte
  • Zeitdiskrete Martingale
  • Brownsche Bewegung

Kontaktzeit

4 SWS / 60 h Vorlesung
2 SWS / 30 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Stochastische Methoden" und "Maß- und Integrationstheorie"

Weiterführende Links

Hier geht es zu den KIS-Einträgen:
Probability Theory (Vorlesung)
Probability Theory (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Probability Theory WS 19/20

White Noise Analysis

Inhalte

  • Einführung in die Grundlagen der Distributionen-Räume unter besonderer Berücksichtigung der temperierten Distributionen
  • Konstruktion des White Noise Raumes (Minlos Theorem, Chaos-Zerlegung, T-Transformation, S-Transformation, Ito-Wiener-Segal-Isomorphismus)
  • Einführung von Testfunktionen-Räumen und Räumen verallgemeinerter Funktionen der White Noise Analysis (Hida- und Kondratiev-Räume)
  • Anwendungen auf Feynman-Pfadintegrale und Stochastische Partielle Differentialgleichungen

Kontaktzeit

4 SWS / 60 h Vorlesung
2 SWS / 30 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen „Einführung in die Funktionalanalysis“ und „Maß- und Integrationstheorie“

Weiterführende Links

Hier geht es zu den KIS-Einträgen:
White Noise Analysis (Vorlesung)
White Noise Analysis (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs
TUK White Noise Analysis WS 19/20

Vorlesungen im Sommersemester

Unsere Arbeitsgruppe bot im Sommersemester 2019 folgende Vorlesungen an:

Functional Analysis

Inhalte

  • Satz von Hahn-Banach und Anwendungen
  • Baire'scher Kategoriensatz und Anwendungen (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit,  Satz von Banach-Steinhaus, Satz von der offenen Abbildung, Satz der inversen Abbildung, Satz vom abgeschlossenen Graphen)
  • schwache Konvergenz (Satz von Banach-Alaoglu, reflexive Banach-Räume, Lemma von Mazur und Anwendungen)
  • Projektionen (Satz vom abgeschlossenen Komplement)
  • beschränkte Operatoren (adjungierte Operatoren, Spektrum, Resolvente, normale Operatoren);
  • kompakte Operatoren (Fredholm-Operatoren, Fredholm-Alternative und Anwendungen, Spektralsatz (Riesz-Schauder) und Anwendungen auf normale Operatoren).

Kontaktzeit

4 SWS / 60 h Vorlesung
2 SWS / 30 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen "Einführung in die Funktionalanalysis" und "Maß- und Integrationstheorie"

Weiterführende Links

Hier geht es zu den KIS-Einträgen:
Functional Analysis (Vorlesung)
Functional Analysis (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Functional Analysis SS 19

Maß- und Integrationstheorie

Inhalte

  • Mengensysteme/-ringe (σ-Algebren)
  • Maße, Lebesgue-Maß
  • Satz von Carathéodory, Satz von Radon-Nikodým
  • messbare Funktionen, Approximationssatz
  • Lebesgue-Integral, Lp-Räume, Konvergenzsätze, Transformationssatz
  • Produktmaße, Satz von Fubini.

Kontaktzeit

2 SWS / 30h Vorlesung
1 SWS / 15h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltungen „Grundlagen der Mathematik I+ II“

Weiterführende Links

Mathematik 1 für Chemiker

Inhalte

  • Komplexe Zahlen
  • Vektoren
  • Vektorfunktionen
  • Funktionen mit mehreren Variablen
  • partielle Ableitungen
  • die totale Ableitung
  • Maxima und Minima für Funktionen von mehreren Veränderlichen
  • das Riemann Integral
  • das uneigentliche Integral
  • Vektorfelder
  • Kurvenintegral

Informationen zur Klausur

Klausureinsicht: Mittwoch, 18. September 2019, 10:00 Uhr in Raum 48-538

Termin der Klausur: 14. August 2019, 10:00 h - 12:00 h

Ort der Klausur: Hörsaal 46 - 215

Bitte kommen Sie um 09:45 h zum Hörsaal und bringen Sie bitte Ihren Studierendenausweis mit.

erlaubte Hilfsmittel:

  • ein DIN A4 Blatt, beidseitig handbeschrieben
  • nicht programmierbarer Taschenrechner

Kontaktzeit

3 SWS / 45 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Zur Auffrischung der Kenntnisse in Schulmathematik wird der Besuch eines Studien-Vorkurses in Mathematik empfohlen.

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird in jedem Semester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Mathematik 1 für Chemiker (Vorlesung)
Mathematik 1 für Chemiker (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Mathematik 1 für Chemiker SS 19

Mathematik 2 für Chemiker

Inhalte

  • Lineare Algebra
  • Zweifachintegration
  • Dreifachintegration
  • Der Transformationssatz
  • Folgen
  • Potenzreihen
  • Fourierreihen
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen

Informationen zur Klausur

Klausureinsicht: Freitag, 20. September 2019, 10:00 Uhr in Raum 48-538

Termin der Klausur: 19. August 2019, 10:00 h - 12:00 h

Ort der Klausur: Hörsaal 46 - 215

Bitte kommen Sie um 09:45 h zum Hörsaal und bringen Sie bitte Ihren Studierendenausweis mit.

erlaubte Hilfsmittel:

  • ein DIN A4 Blatt, beidseitig handbeschrieben
  • nicht programmierbarer Taschenrechner

Kontaktzeit

3 SWS / 45 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung "Mathematik 1 für Chemiker" aus dem Bachelorstudiengang Chemie

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird in jedem Semester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Mathematik 2 für Chemiker (Vorlesung)
Mathematik 2 für Chemiker (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:

TUK Mathematik 2 für Chemiker SS 19

Mathematik 2 für Biophysiker

Inhalte

  • Mehrfachintegration
  • Der Transformationssatz
  • Oberflächenintegrale
  • Der Satz von Stokes und Gauß
  • Reihen
  • Funktionenreihen
  • Potenzreihen
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen
  • Ausblick auf Partielle Differentialgleichungen

Informationen zur Klausur

Klausureinsicht: Donnerstag, 19. September 2019, 13:00 Uhr in Raum 48-624

Termin der Klausur: 20. August 2019, 09:00 h - 11:00 h

Ort der Klausur: Hörsaal 48 - 208

Bitte kommen Sie um 08:45 h zum Hörsaal und bringen Sie bitte Ihren Studierendenausweis mit.

erlaubte Hilfsmittel:

  • ein DIN A4 Blatt, beidseitig handbeschrieben
  • nicht programmierbarer Taschenrechner

Kontaktzeit

2 SWS / 45 h Vorlesung
1 SWS / 15 h Übung

Inhaltliche Voraussetzungen

Lehrveranstaltung Mathematik 1 für Biophysiker

Angebotsturnus

Die Vorlesung wird jedes Jahr im Sommersemester angeboten.

Hier geht es zum KIS-Eintrag:
Mathematik 2 für Biophysiker (Vorlesung)
Mathematik 2 für Biophysiker (Übung)

Hier geht es zum OLAT-Kurs:
TUK Mathematik 2 für Biophysiker SS 19

Seminare im Wintersemester

Unsere Arbeitsgruppe bietet im Wintersemester 2018/19 folgende Seminare an:

Potential Theory and Stochastic Analysis via Dirichlet forms

The seminar will take place on Tuesdays from 13:45 to 15:15 in room 48-519

First meeting: October 23, 2018

Content

In this seminar it is planned to start with developing some analytic potential theory of Dirichlet forms. We will consider so-called excessive functions and introduce an "intrinsic" notion of exceptional sets corresponding to Dirichlet forms. Having these tools in hand, we will focus on quasi-continuity of functions. Then we revisit the theory of Dirichlet forms from a probabilistic point of view. The goal is to explain how Dirichlet forms are associated properly with Markov processes. In order to do so, the notion of a quasi-regular Dirichlet form plays a crucial role. Providing a class of examples for the analytically and probabilistically studied objects will round off the seminar. It is planned to proceed along the contents of the first book from the list of references. The strength of the theory of Dirichlet forms is given by the fact that this mathematical tool is situated in a vast interdisciplinary area which includes analysis and probability theory. Therefore, applications can be found in research areas like Partial Differential Equations, Mathematical Physics (Quantum (Field) Theory, Statistical Physics), Stochastic (Partial) Differential Equations and Stochastic Analysis. Historically, its roots are in the interplay between ideas of analysis (calculus of variations, boundary value problems, potential theory) and probability theory (Brownian motion, stochastic processes, martingale theory).

Literature

  • Z.-M. Ma und M. Röckner, Introduction to the Theory of (Non-Symmetric) Dirichlet Forms, Springer, Berlin, 1992
  • M. Fukushima, Dirichlet Forms and Markov Processes, North-Holland, Amsterdam, Oxford, New York, 1980; 
  • M. Reed und B. Simon, Functional Analysis I and II, Academic Press, 1975.

Prerequisite

Lecture 'Functional Analysis'

Performance record

Certificate for presentation of a talk

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