• Grundlegende Konzepte und Rechentechniken: Mengentheorie, Reelle und komplexe Zahlen (speziell kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten, Wurzeln komplexer Zahlen), Lösung von Gleichungen und Ungleichungen

• Funktionen einer Variablen: Grundlegende Konzepte und elementare Funktionen, Stetigkeit, Symmetrie, Monotonie, Umkehrfunktionen, rationale Funktionen, Asymptoten, Folgen und Reihen (Grenzwertbegriff, Rechenregeln), Potenzreihen (Konvergenzverhalten und Rechnen mit Potenzreihen), Exponentialfunktion und Logarithmus, trigonometrische Funktionen

• Differenziation (eindimensional): Definition von Grenzwerten und Bedeutung der Ableitung, Rechentechniken, implizite Ableitung, Mittelwertsatz, Extremwerte, Regel von de l’Hospital, Taylor-Entwicklung, Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen, Anwendungen (Fehlerabschätzung und Approximation)

• Integration (eindimensional): Definites/Indefinites Integral (Stammfunktion, Riemann-Summe, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Mittelwertsatz), Integrationstechniken (Substitution, partielle Integration) Integration von Potenzreihen und rationalen Funktionen, Ideen der numerischen Integration, uneigentliche Integrale, verschiedene Anwendungen

• Vektorrechnung: Vektoren (insb. Rⁿ), Unterräume, lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension, Skalarprodukt, Orthogonalität, Projektionsaufgaben, Vektorprodukt

• Matrixkalkül: Definition, Rechenregeln, Basiswechsel, lineare Abbildungen, Beschreibung von linearen Abbildungen über Matrizen, lineare Gleichungssysteme (Beschreibung über Matrizen, Struktur der Lösungen, Gaussalgorithmus), Invertierbarkeit, Berechnung von Inversen, Normalengleichungen und Ausgleichsprobleme, Determinanten, Eigenwerte und –vektoren (Diagonalisierbarkeit, Hauptachsentransformation)

• Differenziation (mehrdimensional): Skalar- und Vektorfelder, Kurven, Niveaulinien, totale und partielle Differenzierbarkeit, Richtungsableitung, implizites Differenzieren, Satz von der Umkehrfunktion, Differenziationsregeln (insb. Umkehrfunktion und Kettenregel), Taylorentwicklung, Extrema unter Nebenbedingungen (skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher), Gradientenfelder, Potentiale, Divergenz und Rotation, Anwendungen

• Integration (mehrdimensional): Normalbereiche, Integrale mehrerer Veränderlicher über Normalbereichen
  

Mehrdimensionale Integralrechnung, insbesondere:

• Parametrisierung von Kurven und Flächen im Rⁿ,
• Berechnung von Oberflächen- und (skalaren und vektoriellen) Kurvenintegralen im Rⁿ,
• Tangentialräume und Differential, 
• Klassische Operatoren auf Vektorfeldern: div, rot, grad
• Integralsätze von Gauß und Stokes, Green’sche Formeln, Anwendungen im 3-dimensionalen Euklidischen Raum

Grundlegende Konzepte zur Behandlung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen:

1a. Gewöhnliche Differentialgleichungen: 

• Differentialgleichungen erster Ordnung: Existenz und Eindeutigkeit, Autonome Differentialgleichungen erster Ordnung, Separationsansatz, Variation der Konstanten, explizit lösbare Fälle, Anfangswertprobleme
• Lineare Differentialgleichungen:  Homogene lineare Systeme, Matrix-Exponentialfunktion, Variation der Konstanten, Differentialgleichungen n-ter Ordnung

1b. Partielle Differentialgleichungen:

• Klassifikation und Wohlgestelltheit von partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung
• Wellengleichung, Poissongleichung, Fouriertransformation
• Lösungsmethoden: Separationsansatz, Fouriertransformation

1c. Numerische Lösung von Differentialgleichungen:

• Einzelschrittverfahren (implizit/explizit)
• Runge-Kutta-Verfahren
• Schrittweitensteuerung

Inhalte:

- Erarbeitung des mathematischen Grundwissens für Studierende des Bauingenieurwesens
- Behandelte Themen: Der Vektorraum Rn, Matrizen, Determinanten, Lineare Gleichungssysteme, Eigenwertprobleme, Vektorrechnung und Analytische Geometrie, Lineare Optimierung, Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Anwendung der behandelten mathematischen Werkzeuge auf konkrete fachspezifische Problemstellungen aus verschiedenen Disziplinen des Bauingenieurwesens

• Aussagen, Mengen, Beweismethoden, Abbildungen, Halbordnungen und Äquivalenz­relationen,
• Ganze Zahlen, Division mit Rest, größter gemeinsamer Teiler und Euklidischer Algorithmus, Fundamentalsatz der Arithmetik, Chinesischer Restsatz über Z,
• Gruppen, Bahnengleichung, Symmetriegruppen, Normalteiler und Quotientengruppe, Anwendung (z.B. Zählen von Isomorphieklassen von Graphen),
• Ringe, Polynomringe, Einheitengruppe von Z/n, Anwendungen (z.B. Public-Key-Kryptographie, Pollard-Faktorisierung, Diffie-Hellman Schlüsselaustausch), Ideale und Quotientenringe, Integritätsringe und Körper, endliche Körper, Euklidische Ringe, Chinesischer Restsatz, Anwendungen (z.B. modulares Rechnen, Interpolation),
• Vektorräume, Gaußalgorithmus, Basen und Dimension, Vektorraumhomomorphismen, Lösen linearer Gleichungssysteme, darstellende Matrix eines Homomorphismus, Algo­rithmen für Kern und Bild,
• Isomorphismen, Basiswechsel, Anwendung (z.B. Wavelet-Transformation), Klassifikation von Homomorphismen, Homomorphiesatz, Anwendungen (z.B. Lineare Codes), Determinan­ten, Eigenvektoren, Anwendungen (z.B. Page-Rank Algorithmus)

• Aussagen, Mengen, Beweismethoden, Abbildungen, Halbordnungen und Äquivalenz­relationen,
• Ganze Zahlen, Division mit Rest, größter gemeinsamer Teiler und Euklidischer Algorithmus, Fundamentalsatz der Arithmetik, Chinesischer Restsatz über Z,
• Gruppen, Bahnengleichung, Symmetriegruppen, Normalteiler und Quotientengruppe, Anwendung (z.B. Zählen von Isomorphieklassen von Graphen),
• Ringe, Polynomringe, Einheitengruppe von Z/n, Anwendungen (z.B. Public-Key-Kryptographie, Pollard-Faktorisierung, Diffie-Hellman Schlüsselaustausch), Ideale und Quotientenringe, Integritätsringe und Körper, endliche Körper, Euklidische Ringe, Chinesischer Restsatz, Anwendungen (z.B. modulares Rechnen, Interpolation),
• Vektorräume, Gaußalgorithmus, Basen und Dimension, Vektorraumhomomorphismen, Lösen linearer Gleichungssysteme, darstellende Matrix eines Homomorphismus, Algo­rithmen für Kern und Bild,
• Isomorphismen, Basiswechsel, Anwendung (z.B. Wavelet-Transformation), Klassifikation von Homomorphismen, Homomorphiesatz, Anwendungen (z.B. Lineare Codes), Determinan­ten, Eigenvektoren, Anwendungen (z.B. Page-Rank Algorithmus)

• Ganze und rationale Zahlen, Abzählbarkeit,
• Folgen, Konvergenz, reelle Zahlen, Dezimalbrüche, Cauchyfolgen, Konvergenzkriterien, Anwendung: Existenz und Berechnung von Quadratwurzeln,
• Reihen, geometrische Reihe, Konvergenz- und Divergenzkriterien, Cauchyprodukt von Reihen,
• Funktionen, Stetigkeit, Anwendung: Intervallschachtelung und Existenz von Nullstellen, Zwischenwertsatz,
• Potenzreihen, Exponentialfunktion und Funktionalgleichung, Sinus und Cosinus,
• Differenzierbarkeit, Ableitungsregeln, Ableiten von Potenzreihen, Taylorreihe, Extremwerte, Mittelwertsatz, Regel von l’Hospital, Anwendung (z.B. Newtonverfahren),
• Riemannintegral, Stammfunktionen und Hauptsatz, Integrationsregeln,
• Umkehrfunktion, Logarithmus, allgemeine Potenzen, Ableitung der Umkehrfunktion, Anwendung: Laufzeitanalyse von Algorithmen,
• Ausblick auf Ideen und Konzepte der multivariaten Analysis: Grenzwerte und Stetigkeit in mehreren Variablen, Kurven im Rn, partielle Ableitungen, Gradient und Hesse-Matrix, Taylor-Formel und lokale Extrema, Anwendungen( z.B. Geometrische Modellierung)

• Vektorfunktionen
• Funktionen in mehreren Variablen
• Partielle Ableitungen
• Die totale Ableitung
• Extrema bei Funktionen in mehreren Variablen
• Extrema unter Nebenbedingungen
• Das Kurvenintegral
• Lineare Algebra im Rⁿ
• Krummlinige Koordinaten im R³

• Komplexe Zahlen
• Vektoren
• Vektorfunktionen
• Funktionen mit mehreren Variablen
• partielle Ableitungen
• die totale Ableitung
• Maxima und Minima für Funktionen von mehreren Veränderlichen
• das Riemann Integral
• das uneigentliche Integral
• Vektorfelder
• Kurvenintegral
• Matrizen
• Determinanten

• Lineare Algebra im Rⁿ
• Zweifachintegration
• Dreifachintegration
• Der Transformationssatz
• Folgen
• Potenzreihen
• Fourierreihen
• gewöhnliche Differentialgleichungen
• Partielle Differentialgleichungen

Anhand eines ausgewählten Themas wird exemplarisch eine Problemstellung aus der Biologie mit Hilfe der Statistik und eines statistischen Programms gelöst. Das bedeutet, dass nach einer Einführung in ein statistisches Programm und der Vorstellung der Daten und des Problems, die Studierenden weitgehend selbstständig die Arbeit durchführen. Vorträge und ein abschließendes Protokoll sind wichtige Teile des Moduls.

• Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen
• Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Markow-Ketten zur Darstellung psychologischer Prozesse
• Eigenschaften von Markow-Ketten mit diskretem Zustandsraum

• Lineare Algebra: Vektoren und Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Eigenwerte und Eigenvektoren, Ebenen und Hyperebenen.
• Differential- und Integralrechnung: Differentialrechnung im eindimensionalen und mehrdimensionalen Raum, Lagrange, Anwendungen der Differentialrechnung, Integralrechnung im eindimensionalen Raum, Differentialgleichungen erster Ordnung.
• Lineare Optimierung: lineare Programme, graphisches Lösungverfahren linearer Programmen.